Altalena ideale

poor · Messaggio da **poor** » 31 ott 2014, 17:55

D'accordo, continuiamo a rimuginarci e se abbiamo qualche novità...D'altra parte Simone dice che nemmeno lui conosce la soluzione e quindi per ora rimaniamo così.

Messaggio da **Simone256** » 1 nov 2014, 0:25

Il problema di proporre problemi inventati da sè stessi o da altri in momenti di folle fantasia è proprio questo: la soluzione potrebbe essere qualcosa di non scrivibile

.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 7 nov 2020, 16:32

Ho trovato questo problema molto interessante e, sperando che si possa necropostare un po', propongo il mio tentativo di soluzione per confrontarmi con chi vorrà.

Fisso un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$ con l'asse delle $z$ rivolto verso l'alto, così che $\vec g = (0, 0, -g)$ . Chiamo $A$ e $B$ i punti in cui sono fissati i fili e li pongo in $(a,0,0)$ e $(-a, 0, 0)$ (per comodità ho posto $d=2a)$ . Definisco poi $\theta$ l'angolo che i fili formano con la verticale (per simmetria, lo stesso per entrambi i fili) e $\phi$ l'angolo che la sbarretta forma in orizzontale con l'asse delle $x$ . Chiamando $A'$ e $B'$ gli estremi della sbarretta corrispondenti ad $A$ e $B$ , è allora:
$A'=(a \cos \phi, a \sin \phi, -l \cos \theta)$
$B'=(-a \cos \phi, -a \sin \phi, -l \cos \theta)$
E quindi il centro di massa della sbarretta è in $\vec{CM} = \frac{A'+B'}{2}=(0,0,-l \cos \theta)$
Dal momento che $|A-A'|=|B-B'|=l$ , si ricava la relazione $l \sin \theta = a \sqrt{2(1-\cos \phi)}$ , o equivalentemente $l \sin \theta = d \sin ( \phi / 2)$ che costituisce il vero vincolo geometrico nel problema.
Ora viene la parte più fisica. Le tensioni nei due fili, $\vec T_A$ e $\vec T_B$ , hanno, sempre per motivi di simmetria, lo stesso modulo $T$ , e sono dirette lungo i fili stessi, perciò:
$\vec T_A = \frac{T}{l}(A-A')=\frac{T}{l}\big ( a(1 - \cos \phi), -a \sin \phi, l \cos \theta \big)$
$\vec T_B = \frac{T}{l}(B-B')=\frac{T}{l} \big (a(\cos \phi -1), a \sin \phi, l \cos \theta \big)$
Derivando due volte rispetto al tempo $\vec{CM}$ si ottiene l'accelerazione del centro di massa $\vec a_{CM}$ , e per la seconda legge di Newton $m \vec a_{CM}= \sum \vec F = \vec T_A + \vec T_B + m \vec g$ , quindi, con un po' di conti:
$2T \cos \theta - mg = ml (\ddot \theta \sin \theta + \dot \theta^2 \cos \theta)$
Il momento di inerzia della sbarretta relativo al suo centro di massa è $I_{CM}=m\frac{d^2}{12}=m\frac{a^2}{3}$ , e la velocità angolare è $\vec \omega = (0, 0, \dot \phi)$ , quindi il momento angolare (sempre rispetto al centro di massa) è $\vec L_{CM}=I_{CM} \vec \omega = \frac{m a^2}{3}(0, 0, \dot \phi)$ . Il momento torcente fornito dalle due tensioni è invece $\vec \tau_{CM} = (A' - \vec{CM}) \times \vec T_A + (B' - \vec{CM}) \times \vec T_B$ . Svolgendo i prodotti vettoriali e ricordando che $\vec \tau = \frac{\mathrm{d} \vec L_{CM}}{\mathrm{d}t}$ si ottiene:
$-\frac{6T}{l} \sin \phi = m \ddot \phi$
A questo punto posso eliminare $T$ dalle due equazioni cardinali, e ne vien fuori qualcosa di terrificante:
$-3 \sin \phi [g+l(\ddot \theta \sin \theta+ \dot \theta^2 \cos \theta)]=l \ddot \phi \cos \theta$
Quest'equazione, insieme a quella del vincolo geometrico, permette in teoria di risolvere per $\theta(t)$ e $\phi(t)$ , ma dubito fortemente che ciò sia fattibile analiticamente e di sicuro è al di là delle mie possibilità.

Posso però studiare il caso delle piccole oscillazioni: per $\phi <<1$ , $\sin \phi \approx \phi$ , $\cos \theta \approx 1$ , e trascurando i termini di second'ordine, l'ultima equazione si riduce a $-3g \phi = l \ddot \phi$ , da cui la frequenza delle piccole oscillazioni è $\Omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$ , curiosamente indipendente da $a$ .
Se poi, nel vincolo geometrico, scrivo $\sin \theta \approx \theta$ e $\cos \phi \approx 1-\frac{\phi^2}{2}$ , ottengo anche $l \theta \approx a \phi$ , che ha senso se immagino lo spostamento dell'estremità $A'$ (o $B'$ ) prima come archetto di una circonferenza centrata in $\vec{CM}$ e poi di un'altra centrata in $A$ (o $B$ ).
Ditemi che ne pensate o se avete idee per ricavare qualcos'altro.

Messaggio da **Pigkappa** » 7 nov 2020, 18:46

Non ci ho pensato molto per cui puo' darsi sia ovvio ma... Hai assunto che $T$ e' costante quando hai derivato? Se si', perche'?

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 7 nov 2020, 20:05

No, per quanto mi riguarda quel $T$ è un generico $T(t)$ . Non ho avuto bisogno di supporre nient'altro sul suo comportamento perchè non si trovava in nessuna quantità da derivare.
Ho corretto un typo nel massaggio precedente.

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