pascal ha scritto:Beato te che trovi il tempo per sperimentare i piani inclinati ludici dello sport.
No, beato te che non hai trovato il tempo. Una testa di legno ha deciso di sperimentare direttamente la teoria degli urti e mi si è scaraventato addosso con tutta la sua energia cinetica. Adesso ho una mano che somiglia ad un hamburger.
Ad ogni modo veniamo alla soluzione.
Caso m<M
Comincio dalla fine e dico: supponiamo che esista una proporzionalità fissa tra la velocità della palla prima dell'urto e la velocità della palla dopo l'urto (in valore assoluto). Supponiamo poi che ci sia una proprozionalità fissa tra la velocità della slitta dopo l'urto e la velocità della palla prima dell'urto (in modulo). Supponiamo infine che lo spazio percorso dalla slitta dopo l'urto sia proporzionale al quadrato della velocità della slitta subito dopo l'urto, ovvero anche proporzionale al quadrato della velocità della palla prima del'urto.
Detta
la velocità della palla prima dell'urto e
lo spazio percorso dalla slitta dopo il primo urto, scrivo queste due relazioni:
Se considero adesso il secondo urto (che avviene però sulla sponda sinistra) posso scrivere analogamente:
Esaminando adesso il terzo urto posso scrivere:
Procedendo così fino all'infinito posso scrivere:
Ricordando la serie notevole
si ha:
I valori di W e k si determinano applicando la conservazione della quantità di moto e dell'energia, e risultano essere:
Per ottenere ciò ho imposto che la quantità di moto della palla prima dell'urto (in modulo) sia uguale alla differenza (in modulo) tra la quantità di moto della slitta dopo l'urto e la quantità di moto della palla dopo l'urto, e ho pure imposto che l'energia della palla più quella della slitta dopo l'urto sia uguale all'energia della palla prima dell'urto.
Infine ho eguagliato lo spazio percorso dalla slitta moltiplicato per la forza d'attrito (
) all'energia cinetica della slitta dopo l'urto.
Sostituendo si ottiene:
Caso m>M
Salvo errori, ovviamente!!!