urti e attrito

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Aust
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urti e attrito

Messaggio da Aust » 27 feb 2009, 16:05

La pedana in figura di massa è poggiata su un piano orizzontale con attrito, coefficienti e . La particella di massa si muove al suo interno, in assenza di attrito, con velocità iniziale rimbalzando elasticamente sulle pareti. Calcolare lo spostamento totale della pedana per . Si può considerare la separazione tra le due pareti grande a piacere. Cosa succede per ?

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Falco5x
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Re: urti e attrito

Messaggio da Falco5x » 27 feb 2009, 16:49

Non ho capito una cosa: per spostamento totale si intende la somma degli spostamenti in valore assoluto (cioè ad esempio |+4|+|-3|+|+2|+|-1|=10), oppure si intende l'incremento netto di ascissa x, cioè sommando gli spostamenti col loro segno?

Aust
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Re: urti e attrito

Messaggio da Aust » 27 feb 2009, 17:02

Nella soluzione...secondo me poco chiara fa riferimento a cambiamenti di segno quindi credo che va ricercato la soma degli spostamento col loro segno...

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Falco5x
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Re: urti e attrito

Messaggio da Falco5x » 27 feb 2009, 18:35

Aust ha scritto:credo che va ricercato la soma degli spostamento col loro segno...
Certo! diversamente sarebbe banale.
Il caso con M<m è più facile perché gli urti avvengono tutti sulla sponda di destra, la slitta si muove sempre nello stesso verso e allora basta eguagliare l'energia cinetica iniziale della palla al lavoro di attrito totale e si calcola lo spazio totale.
Il caso M>m invece richiede di calcolare una serie notevole convergente. Adesso non ho tempo di riportare i calcoli, lo farò in seguito. Intanto lascio spazio libero ad altri volonterosi.

pascal
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Re: urti e attrito

Messaggio da pascal » 27 feb 2009, 23:07

L’iterazione degli urti con la piattaforma in quiete, l’applicazione delle formule dell’urto elastico, il calcolo dello spazio nella successione dei moti uniformemente ritardati dall’attrito dinamico, conducono per m < M ad una serie geometrica con segni alterni.
Ma per risolvere il problema bisogna avanzare l’ipotesi, come sicuramente avrà fatto Falco5x, che l’urto sia istantaneo. In tal modo la forza d’attrito è trascurabile rispetto alla forza impulsiva estremamente grande e si conserva la quantità di moto oltre all’energia (come riferisce la traccia) in quell’istante.
Inoltre la massa M si metterà in moto in quanto la forza della collisione supera l’attrito statico.
Per scrivere le formule ci vuole abbastanza tempo e forse altri sono più disponibili.

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Falco5x
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Re: urti e attrito

Messaggio da Falco5x » 28 feb 2009, 1:01

pascal ha scritto:Ma per risolvere il problema bisogna avanzare l’ipotesi, come sicuramente avrà fatto Falco5x, che l’urto sia istantaneo. In tal modo la forza d’attrito è trascurabile rispetto alla forza impulsiva estremamente grande e si conserva la quantità di moto oltre all’energia (come riferisce la traccia) in quell’istante.
Inoltre la massa M si metterà in moto in quanto la forza della collisione supera l’attrito statico.
Per scrivere le formule ci vuole abbastanza tempo e forse altri sono più disponibili.
Esatto, gli urti vengono schematizzati come eventi istantanei. O per meglio dire le forze tra i corpi che urtano sono di tipo impulsivo con durata temporale tendente a zero, e poiché generano impulsi di area finita, hanno intensità tendente a infinito (impulsi di dirac). Dunque le forze di attrito statico, essendo di valore finito, risultano sempre trascurabili rispetto a queste forze impulsive e il movimento sul piano avviene comunque, con conservazione iniziale della quantità di moto e dell'energia complessiva dei due corpi nell'intorno dell'urto e con smorzamento successivo dell'energia del corpo strisciante mediante attrito dinamico.
Visivamente il caso con m<M somiglia a un ping-pong tra le sponde della slitta che alterna il verso del suo moto con prevalenza però verso destra; mentre il caso con m>M produce una ripetizione di urti sulla sola sponda di destra, come se la slitta venisse presa ripetutamente a calci dalla "palla" che la rincorre e la raggiunge.
Domani vado a sciare, ma se domenica mi viene voglia posto il procedimento.

pascal
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Re: urti e attrito

Messaggio da pascal » 1 mar 2009, 10:05

pascal ha scritto:
Falco5x ha scritto:
pascal ha scritto:Ma per risolvere il problema bisogna avanzare l’ipotesi, come sicuramente avrà fatto Falco5x, che l’urto sia istantaneo. In tal modo la forza d’attrito è trascurabile rispetto alla forza impulsiva estremamente grande e si conserva la quantità di moto oltre all’energia (come riferisce la traccia) in quell’istante.
Inoltre la massa M si metterà in moto in quanto la forza della collisione supera l’attrito statico.
Per scrivere le formule ci vuole abbastanza tempo e forse altri sono più disponibili.
Esatto, gli urti vengono schematizzati come eventi istantanei. O per meglio dire le forze tra i corpi che urtano sono di tipo impulsivo con durata temporale tendente a zero, e poiché generano impulsi di area finita, hanno intensità tendente a infinito (impulsi di dirac). Dunque le forze di attrito statico, essendo di valore finito, risultano sempre trascurabili rispetto a queste forze impulsive e il movimento sul piano avviene comunque, con conservazione iniziale della quantità di moto e dell'energia complessiva dei due corpi nell'intorno dell'urto e con smorzamento successivo dell'energia del corpo strisciante mediante attrito dinamico.
Visivamente il caso con m<M somiglia a un ping-pong tra le sponde della slitta che alterna il verso del suo moto con prevalenza però verso destra; mentre il caso con m>M produce una ripetizione di urti sulla sola sponda di destra, come se la slitta venisse presa ripetutamente a calci dalla "palla" che la rincorre e la raggiunge.
Domani vado a sciare, ma se domenica mi viene voglia posto il procedimento.
Beato te che trovi il tempo per sperimentare i piani inclinati ludici dello sport.

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Re: urti e attrito

Messaggio da Falco5x » 2 mar 2009, 0:30

pascal ha scritto:Beato te che trovi il tempo per sperimentare i piani inclinati ludici dello sport.
No, beato te che non hai trovato il tempo. Una testa di legno ha deciso di sperimentare direttamente la teoria degli urti e mi si è scaraventato addosso con tutta la sua energia cinetica. Adesso ho una mano che somiglia ad un hamburger. :evil:
Ad ogni modo veniamo alla soluzione.
Caso m<M
Comincio dalla fine e dico: supponiamo che esista una proporzionalità fissa tra la velocità della palla prima dell'urto e la velocità della palla dopo l'urto (in valore assoluto). Supponiamo poi che ci sia una proprozionalità fissa tra la velocità della slitta dopo l'urto e la velocità della palla prima dell'urto (in modulo). Supponiamo infine che lo spazio percorso dalla slitta dopo l'urto sia proporzionale al quadrato della velocità della slitta subito dopo l'urto, ovvero anche proporzionale al quadrato della velocità della palla prima del'urto.
Detta la velocità della palla prima dell'urto e lo spazio percorso dalla slitta dopo il primo urto, scrivo queste due relazioni:


Se considero adesso il secondo urto (che avviene però sulla sponda sinistra) posso scrivere analogamente:


Esaminando adesso il terzo urto posso scrivere:


Procedendo così fino all'infinito posso scrivere:


Ricordando la serie notevole

si ha:

I valori di W e k si determinano applicando la conservazione della quantità di moto e dell'energia, e risultano essere:


Per ottenere ciò ho imposto che la quantità di moto della palla prima dell'urto (in modulo) sia uguale alla differenza (in modulo) tra la quantità di moto della slitta dopo l'urto e la quantità di moto della palla dopo l'urto, e ho pure imposto che l'energia della palla più quella della slitta dopo l'urto sia uguale all'energia della palla prima dell'urto.
Infine ho eguagliato lo spazio percorso dalla slitta moltiplicato per la forza d'attrito () all'energia cinetica della slitta dopo l'urto.
Sostituendo si ottiene:

Caso m>M




Salvo errori, ovviamente!!!

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