Massimo lavoro estratto da due corpi.

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Pigkappa
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Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da Pigkappa » 21 feb 2009, 0:58

Sono dati due corpi identici di temperature e con . Quanto lavoro si può estrarre, al massimo, da questi due corpi, avendo a disposizione delle macchine capaci di compiere qualsiasi ciclo termodinamico e qualcosa per accumulare energia?



Commenti: è un classico, ed ha tantissime possibili varianti. Anche questo, secondo me, è uno di quelli che conviene avere già visto. Ci sono almeno due modi per risolverlo (uno brutto e uno bello). Se non avete mai visto nulla di simile potrebbe non sembrarvi facile, e in effetti non lo è. Se lo avete già visto, date tempo agli altri per pensarci...
È stato dato sia al test di ammissione in SNS che alle IPHO (come quesito da 2 punti, credo).
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pascal
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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da pascal » 22 feb 2009, 20:01

Trovo il risultato seguente:



in cui m è la massa e c il calore specifico (a pressione costante)
di ciascun corpo.

Pigkappa
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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da Pigkappa » 22 feb 2009, 20:23

Direttamente dai "Consigli per scrivere le soluzioni" di Massimo Gobbino (allenatore della squadra italiana delle Olimat):
Dal punto di vista matematico:

- È ovvio che una risposta corretta senza dimostrazione (o con dimostrazione non corretta) ha un valore sostanzialmente nullo.
La risposta è giusta, ma è molto più utile spiegare il procedimento che scrivere solo la risposta...
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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da CoNVeRGe. » 22 feb 2009, 20:34

magari non ha scritto il procedimento per permettere ad altri di cimentarsi col problema (perchè a lui forse era già noto il procedimento risolutivo)

comunque sia colgo l'occasione per chiedere a tutti se ritenete necessario stabilire una qualche '''regola''' riguardo questa questione o lasciare ad ognuno la propria volontà (di postare o meno in qualsiasi momento una soluzione)

pascal
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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da pascal » 22 feb 2009, 22:19

Avevo inteso che bisognava dedicare al problema un tempo adeguato.
Accenno al procedimento seguito, non avendo tempo, e rinvio a domani la trascrizione di un’eventuale soluzione più esplicita.
Per calcolare la temperatura finale ho applicato due procedimenti:
- ho determinato la variazione di entropia dell’universo (sistema + ambiente) ed ho imposto che . Ho ricavato la temperatura minima per trasformazioni reversibili in cui .
- ho uguagliato i rapporti tra i valori assoluti infinitesimi dei calori scambiati e le rispettive temperature assolute variabili (macchine di Carnot) dei corpi, poi ho effettuato un’integrazione.
Ho ottenuto il lavoro sottraendo al valore assoluto del calore ceduto quello assorbito dai relativi corpi.

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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da Falco5x » 22 feb 2009, 22:19

CoNVeRGe. ha scritto:magari non ha scritto il procedimento per permettere ad altri di cimentarsi col problema (perchè a lui forse era già noto il procedimento risolutivo)

comunque sia colgo l'occasione per chiedere a tutti se ritenete necessario stabilire una qualche '''regola''' riguardo questa questione o lasciare ad ognuno la propria volontà (di postare o meno in qualsiasi momento una soluzione)
Trovo corretto quanto ha fatto Pascal.
Uno posta la soluzione lasciando così spazio ad altri di pensarci (anche perché mica tutti vedono il post e iniziano a cimentarsi nello stesso momento... quindi non è una gara).
Se dopo qualche tempo arrivano contributi contrastanti oppure non arrivano altri contributi allora ciascuno posta il suo procedimento e se ne discute. Se uno postasse subito il procedimento l'interesse sul topic diminuirebbe e il topic morirebbe giovane, risultando così meno utile.

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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da Falco5x » 23 feb 2009, 14:17

Intanto posto il mio procedimento.
Leggendo quanto già descritto da Pascal, presumo che questo procedimento sia molto simile (o forse identico) a quello seguito da lui.

Il problema equivale a cercare la temperatura cui si portano i due corpi alla fine dello scambio di calore complessivo. Infatti detta questa temperatura si può scrivere per il lavoro estratto totale la seguente relazione:



La temperatura finale di equilibrio sarà quella che si raggiunge mediante infiniti cicli infinitesimi a rendimento ideale, quelli cioè per i quali la variazione di entropia dell'universo rimane nulla. Detti A e B i corpi caldo e freddo rispettivamente, durante ciascuno di questi cicli infinitesimi deve valere la relazione:



ovvero











da cui la relazione finale


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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da Pigkappa » 23 feb 2009, 15:52

Bravi, questa era la soluzione meno contosa. L'altro modo è quello di non pensare all'entropia ma eseguire dei cicli infinitesimi di Carnot e integrare su quelli, ma mi pare di ricordare che venga un po' più brutto.

Provate a inventarvi un po' di varianti del problema :D
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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da pascal » 24 feb 2009, 19:41

Esprimo alcune considerazioni su questo problema.
L’inserimento di una successione di macchine di Carnot tra le due sorgenti A e B alle temperature e con , impone che le stesse temperature siano inversamente proporzionali, cioè . Infatti differenziando la precedente relazione si desume l’equazione della generica macchina di Carnot. Quando A cede calore, la diminuisce e la aumenta perché B acquista calore. Allorché , i due corpi raggiungono la stessa temperatura e il motore termina il suo funzionamento. La è la media geometrica delle temperature iniziali. Se i due corpi si ponevano a contatto senza motori termici, avrebbero conseguito la temperatura di equilibrio , ossia la media aritmetica di e . Poiché la macchina ha trasferito dell’energia all’ambiente, ci aspettiamo che la temperatura finale sia inferiore a Te. Ciò si verifica subito perché . Dobbiamo osservare che Tf è la minima temperatura di equilibrio del sistema realizzabile con un motore termico, giacchè il lavoro estratto assume il valore più alto possibile. Se i corpi A e B si portano in equilibrio spontaneamente alla temperatura Te, essi non forniscono all’esterno alcun lavoro dato che . Deriva che il lavoro prodotto dalle macchine corrisponde proprio all’energia scaricata dalle due masse all’esterno se, partendo dalla temperatura di equilibrio, si portassero alla temperatura Tf.
Il rendimento dell’insieme di macchine vale:
= 1- Qceduto/Qassorbito = .
Da si ha che . Risulta che il rendimento della successione di macchine di Carnot è inferiore a quello del motore singolo di Carnot che agisce nell’istante iniziale. Ciò avviene perché il rendimento della macchina generica diminuisce da a zero al crescere di . Ecco perché il rendimento complessivo è intermedio tra i valori estremi degli di tutte le macchine di Carnot che hanno operato tra A e B.

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Re: Massimo lavoro estratto da due corpi.

Messaggio da CoNVeRGe. » 3 mar 2009, 15:20

l'altra soluzione?
pascal ha scritto: -L’inserimento di una successione di macchine di Carnot tra le due sorgenti A e B alle temperature T_A e T_B con T_A>T_B, impone che le stesse temperature siano inversamente proporzionali, cioè T_AT_B = T_1T_2.
-Infatti differenziando la precedente relazione si desume l’equazione della generica macchina di Carnot.
potresti chiarirmi/esplicitarmi questi due punti?

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