Moto di un grave nell'acqua

[BorisM]

Una sbarra di alluminio di lunghezza l e sezione S viene fatta cadere da un’altezza h sopra la superficie del mare. Supponendo che continui a cadere verticalmente anche nell’acqua, si determini la velocità con cui la sbarra tocca il fondo a una profondità H (Si trascuri la forza dell’attrito dell’acqua e dell’aria e la forza impulsiva all’impatto).
Dati:
l =50 cm, h = 1.5 m, H = 3 m
densità dell’acqua ρ1 = 103000 Kg/m3
accelerazione di gravità g = 9.8 m/s2

[arna1998]

Trascurando gli attriti e la forza impulsiva all'impatto, credo che l'unico fattore che entra in gioco sia la spinta di Archimede. Provo comunque a scrivere come ho pensato di fare, anche se non so se l'approccio è giusto.
Dividerei il moto in tre fasi:
-la prima va dall'inizio del moto fino al istante esattamente prima dell'ingresso nell'acqua. Essa cade come un corpo in caduta libera e raggiunge una velocità che possiamo calcolare facilmente. La sbarra percorre 1,5m prima di entrare in acqua, quindi la velocità sarà
-la seconda comprende tutto il tempo in cui il corpo è immerso parzialmente nell'acqua. Qui l'accellerazione decresce all'aumentare della parte immersa. Non ho provato a farlo, ma credo che venga troppo difficile per me. Questa fase si conclude con una velocità
-l'ultima fase comprende tutto il tempo in cui la sbarra è tutta immersa, e prosegue di moto uniformemente accellerato con una accellerazione che possiamo calcolare semplicemente con la spinta di Archimede e con una velocità iniziale uguale a . Considero la densità dell'alluminio , l'accelerazione nell'acqua sarà . Per la velocità . è il risultato del problema, ma non posso calcolarlo perchè non so calcolare .

[BorisM]

Trascurando gli attriti e la forza impulsiva all'impatto, credo che l'unico fattore che entra in gioco sia la spinta di Archimede. Provo comunque a scrivere come ho pensato di fare, anche se non so se l'approccio è giusto.
Dividerei il moto in tre fasi:
-la prima va dall'inizio del moto fino al istante esattamente prima dell'ingresso nell'acqua. Essa cade come un corpo in caduta libera e raggiunge una velocità che possiamo calcolare facilmente. La sbarra percorre 1,5m prima di entrare in acqua, quindi la velocità sarà
-la seconda comprende tutto il tempo in cui il corpo è immerso parzialmente nell'acqua. Qui l'accellerazione decresce all'aumentare della parte immersa. Non ho provato a farlo, ma credo che venga troppo difficile per me. Questa fase si conclude con una velocità
-l'ultima fase comprende tutto il tempo in cui la sbarra è tutta immersa, e prosegue di moto uniformemente accellerato con una accellerazione che possiamo calcolare semplicemente con la spinta di Archimede e con una velocità iniziale uguale a . Considero la densità dell'alluminio , l'accelerazione nell'acqua sarà . Per la velocità . è il risultato del problema, ma non posso calcolarlo perchè non so calcolare .

Innanzi tutto ti ringrazio per la risposta.
Anche io avevo pensato di fare come te tuttavia ho qualche dubbio:
- la densità dell' aluminio è realmente nota?
Questo è il primo problema che sorge dato anche dal fatto che il problema esplicita la densità dell' acqua. Se essa fosse nota penso che per calcolare possiamo procedere in questo modo:
Essendo la Spinta di armichimede una forza conservativa il lavoro compiuto da essa sarà pari alla variazione di energia meccanica. In particolare

Inoltre poichè la forza di archimede è divettamente proporzionale al volume del corpo immerso la media della forza sarà
Scrivendo quindi come posso trovare
Io avrei pensato di fare in questo modo ma non so se è corretto e come ho gia detto non so se la densità dell' aluminio è un dato noto al problema
-il secondo problema è: mano a mano che il blocco cade su di esso non agisce la forza peso della colonna d' acqua che si crea al di sopra?
Se ciò fosse la risultante delle forze non sarebbe piu data solamente dalla spinta e dalla forza peso del blocco ma anche dal peso della colonna d' acqua. Quindi si dovrebbe fare un ragionamento analogo a quello fatto in precedenza (considerare la forza media)?

[Pigkappa]

-il secondo problema è: mano a mano che il blocco cade su di esso non agisce la forza peso della colonna d' acqua che si crea al di sopra?

Prova a pensare a questa cosa a livello microscopico: la forza peso dell'acqua sopra alla sbarra agisce tramite la pressione all'interfaccia sbarra - acqua. Analogamente, sulla parte inferiore della sbarra agisce la pressione dell'acqua che si trova al di sotto di essa. La differenza tra queste due pressioni è proprio la forza di Archimede che agisce sulla sbarra.

La forza di Archimede non è una forza fondamentale della natura come la gravità, ma è un artificio comodo che si usa per non dover calcolare ogni volta l'effetto della pressione su un corpo immerso in un liquido. Però bisogna ricordarsi che la sua origine fisica è questa, altrimenti si rischia di voler poi considerare la presenza della pressione e quindi contarla due volte.

Non ho provato a seguire le vostre soluzioni, ma mi sembra intuitivo che senza la densità dell'alluminio non si può dare una risposta numerica al problema.

[BorisM]

-il secondo problema è: mano a mano che il blocco cade su di esso non agisce la forza peso della colonna d' acqua che si crea al di sopra?

Prova a pensare a questa cosa a livello microscopico: la forza peso dell'acqua sopra alla sbarra agisce tramite la pressione all'interfaccia sbarra - acqua. Analogamente, sulla parte inferiore della sbarra agisce la pressione dell'acqua che si trova al di sotto di essa. La differenza tra queste due pressioni è proprio la forza di Archimede che agisce sulla sbarra.

La forza di Archimede non è una forza fondamentale della natura come la gravità, ma è un artificio comodo che si usa per non dover calcolare ogni volta l'effetto della pressione su un corpo immerso in un liquido. Però bisogna ricordarsi che la sua origine fisica è questa, altrimenti si rischia di voler poi considerare la presenza della pressione e quindi contarla due volte.

Non ho provato a seguire le vostre soluzioni, ma mi sembra intuitivo che senza la densità dell'alluminio non si può dare una risposta numerica al problema.

Ma una volta che il blocco è immerso compleatamente nell' acqua a qualsiasi profondità si trovi la forza di archimede non rimane costante?

[Pigkappa]

Si'!

La pressione dell'acqua sopra di lui e quella dell'acqua sotto di lui aumentano entrambe, ma la loro differenza rimane costante.

Immagina che il corpo in caduta sia un cubo di lato che cade in modo che due delle sue facce siano sempre parallele alla superficie dell'acqua. La pressione su ogni faccia laterale e' bilanciata da quella sulla faccia opposta percio' non la consideriamo. La pressione sulla faccia superiore e' , dove e' la profondità di questa faccia dalla superficie dell'acqua; quella sulla faccia inferiore e' . La forza che agisce, prendendo per positiva la direzione verso l'alto, e' quindi data dal prodotto di pressione per superficie sulle due facce, cioè . Il risultato e' , cioe' densità dell'acqua per volume del cubo per gravita', come previsto dal principio di Archimede.

Si può dimostrare che il conto torna per qualunque forma dell'oggetto che cade, ma e' più difficile.

[BorisM]

Si'!

La pressione dell'acqua sopra di lui e quella dell'acqua sotto di lui aumentano entrambe, ma la loro differenza rimane costante.

Immagina che il corpo in caduta sia un cubo di lato che cade in modo che due delle sue facce siano sempre parallele alla superficie dell'acqua. La pressione su ogni faccia laterale e' bilanciata da quella sulla faccia opposta percio' non la consideriamo. La pressione sulla faccia superiore e' , dove e' la profondità di questa faccia dalla superficie dell'acqua; quella sulla faccia inferiore e' . La forza che agisce, prendendo per positiva la direzione verso l'alto, e' quindi data dal prodotto di pressione per superficie sulle due facce, cioè . Il risultato e' , cioe' densità dell'acqua per volume del cubo per gravita', come previsto dal principio di Archimede.

Si può dimostrare che il conto torna per qualunque forma dell'oggetto che cade, ma e' più difficile.

Ok Grazie mille ! Quindi questo implica che l' accellerazione del corpo una volta che è tutto immerso è costante.
A questo punto penso di aver risolto il problema se la mia considerazione nel punto 2 è giusta

[Simone256]

In particolare

Inoltre poichè la forza di archimede è divettamente proporzionale al volume del corpo immerso la media della forza sarà
Scrivendo quindi come posso trovare

Credo che questa soluzione sia corretta se era quello che volevi chiedere!