Liquido in un cilindro che ruota.

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Pigkappa
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Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da Pigkappa » 17 feb 2009, 22:48

Un recipiente cilindrico posto in rotazione con velocità angolare intorno al suo asse principale contiene un liquido, che ruota insieme al recipiente. È presente l'accelerazione di gravità. Determinare la forma assunta dalla superficie libera del liquido all'equilibrio.




Commenti: non è un problema che potrebbe essere dato in gara, perchè è troppo noto (è perfino riportato in alcuni libri di teoria). Tuttavia è interessante e, se non si è mai visto niente che gli assomigli, può risultare difficile. E' una di quelle cose che conviene sicuramente aver incontrato almeno una volta.
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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da CoNVeRGe. » 18 feb 2009, 12:45

provo a fare qualche passo.. :?
-mi aspetto che la forma sia ad U o a V
-in ogni punto ci deve essere la forza centripeta necessaria a compiere il moto circolare
-per questa credo che possano contribuire sia la differenza di pressione tra quel punto e quelli adiacenti, sia le pareti del cilindro (e questa osservazione non so trattarla)
-nel sistema non inerziale rotante abbiamo che la forza centrifuga aumenta linearmente con la distanza dal centro del cilindro
-per l'equilibrio è necessario che ci sia un'altra forza che aumenti anch'essa linearmente ma in verso opposto (potrebbe essere appunto per il principio di Pascal la pressione, ma anche la reazione delle pareti del cilindro..)

non saprei come avanzare, forse dovrei vedere la situazione da un'altro punto di vista

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Falco5x
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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da Falco5x » 18 feb 2009, 12:51

CoNVeRGe. ha scritto:provo a fare qualche passo.. :?
-per l'equilibrio è necessario che ci sia un'altra forza che aumenti anch'essa linearmente ma in verso opposto (potrebbe essere appunto per il principio di Pascal la pressione, ma anche la reazione delle pareti del cilindro..)
La soluzione si trova più semplicemente perché il metodo diretto e piuttosto facile... basta solo pensarci (ma questo non è proprio immediato...). Comunque meglio lasciar stare la pressione... ;)

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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da CoNVeRGe. » 18 feb 2009, 13:29

mmm ecco un'idea molto più efficace 8-) :
-all'equilibrio dinamico la superficie del liquido si dispone in modo tale che la risultante delle forze agenti su ogni punto sia perpendicolare alla superificie stessa (e questo direi che si possa ritenere privo di dubbi)
-assumendo per positivi i versi alto e destra, l'inclinazione della risultante delle forze è (bidimensionando il problema):

l'inclinazione della normale quindi:

integrando (io non lo so fare) si ottiene h in funzione di r

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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da Falco5x » 18 feb 2009, 14:13

CoNVeRGe. ha scritto:mmm ecco un'idea molto più efficace 8-) :
-all'equilibrio dinamico la superficie del liquido si dispone in modo tale che la risultante delle forze agenti su ogni punto sia perpendicolare alla superificie stessa (e questo direi che si possa ritenere privo di dubbi)
-assumendo per positivi i versi alto e destra, l'inclinazione della risultante delle forze è (bidimensionando il problema):

l'inclinazione della normale quindi:

integrando (io non lo so fare) si ottiene h in funzione di r
Bravo :!:




Paraboloide.
:D

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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da pascal » 18 feb 2009, 16:23

L'integrale si può evitare.
Ponendo z=dh/dr e denotando con k la costante moltiplicativa di r nella formula di z,
si ha che z=kr. Il grafico di z in funzione di r è una retta passante per l'origine degli
assi. Poichè dh = z dr, i rettangolini di base infinitesima dr e altezza z forniscono dh.
Sommando tutti i rettangolini si ottiene la variazione di h, partendo da 0, ossia h.
Ma l'unione di questi rettangolini forma un triangolo rettangolo di area
.
Quindi

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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da Falco5x » 18 feb 2009, 16:43

pascal ha scritto:L'integrale si può evitare....
Non l'hai evitato, l'hai quasi dimostrato! :lol:

Ippo
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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da Ippo » 18 feb 2009, 18:38

Anche utilizzando la pressione non è che venga così difficile...
prendiamo un volume infinitesimo di liquido, diciamo un cubo con facce di superficie A.
La forza risultante agente sul cubo di liquido, in direzione radiale, è . Uguagliandola alla forza centripeta si trova che la derivata della pressione rispetto allo spostamento radiale dal centro è . Ma per la legge di Stevino (in forma differenziale) si ha che quindi, sostituendo: .
Integrando si ottiene l'equazione del paraboloide, altrimenti si può dire che la pendenza della superficie del liquido cresce linearmente con la distanza dal centro e quindi una sua sezione verticale è una parabola.
Tra l'altro è stato dato per l'ammissione alla Normale qualche anno fa (poi chiedevano anche di trattare il liquido come uno specchio e aggiungevano un quesito di ottica. Originale!)

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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da CoNVeRGe. » 18 feb 2009, 19:05

Ippo ha scritto:..la derivata della pressione rispetto allo spostamento radiale dal centro è . Ma per la legge di Stevino (in forma differenziale) si ha che quindi, sostituendo..
non capisco perchè sia lecito sostituire.. un'equazione si riferisce alla variazione per spostamento laterale, l'altra verticale..

EDIT:ah ok ora ci sono.. per uno spostamento radiale la pressione DEVE aumentare in un certo modo.. (per avere la forza centripeta necessaria) e questo si ottiene se aumenta anche la profondità di un certo
è questo il ragionamento che c'era dietro suppongo..

pascal
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Re: Liquido in un cilindro che ruota.

Messaggio da pascal » 19 feb 2009, 11:16

Falco5x ha scritto:
pascal ha scritto:L'integrale si può evitare....
Non l'hai evitato, l'hai quasi dimostrato! :lol:
Sei libero di interpretare il significato dei vocaboli. Ma se viene affermato di non aver ancora affrontato il calcolo integrale e si propone un modo diretto per ottenere la risposta, per me significa aver evitato la procedura tecnica d’integrazione, pur raggiungendo lo stesso risultato con metodi geometrici accessibili a tutti gli studenti.
Il ”quasi” poi non mi è proprio chiaro. L’area di un rettangoloide viene determinata approssimando la figura con un insieme di rettangolini. Ma l’approssimazione svanisce quando le basi dei rettangolini tendono a zero. Se dico che le basi sono infinitesime, vuol dire che è stato già effettuato il limite verso lo zero. Nell’esempio in considerazione si ottiene esattamente l’area di un triangolo rettangolo. D’altra parte a livello scolastico questo criterio si applica diverse volte: spazio in un moto uniformemente vario, impulso, energia (elastica, elettrostatica, magnetica), lavoro termodinamico, ecc.
Bisogna anche dire che l’analisi matematica viene studiata soltanto negli ultimi anni della scuola media superiore e spesso si usano in fisica approcci alternativi. Inoltre quasi tutti i problemi di fisica assegnati alle Olimpiadi vengono impostati per essere risolti senza il supporto dell’analisi. Ma se gli studenti già conoscono il calcolo analitico sono padroni di utilizzarlo a meno che non venga esplicitamente negato.
E’ necessario ancora evidenziare, a mio avviso, che questo forum ha valenza non soltanto per gli studenti che fra poco accedono al livello nazionale delle Olimpiadi, ma anche per appassionati, curiosi, docenti e soprattutto per gli alunni che vogliono incominciare a prepararsi per la prossima edizione della gara o che vogliono migliorare la loro formazione in fisica nella soluzione di problemi ostici e desueti.

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