Tre corpi intorno a un asse.

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Pigkappa
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Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da Pigkappa » 14 feb 2009, 22:09

Tre punti materiali non allineati , e di masse note , e interagiscono tra loro solo per effetto delle forze di gravità, e non sono influenzati da altri corpi. Sia l'asse che passa per il centro di massa dei tre punti e che è perpendicolare al triangolo . Quali condizioni devono soddisfare la velocità angolare del sistema intorno all'asse e le distanze:







Affinchè la forma e le dimensioni del triangolo non cambino durante il moto (in altre parole, sotto quali condizioni il sistema ruota intorno all'asse come se fosse un corpo rigido)?

Fonte: IPHO 1989, Problema 2. Difficoltà: secondo me sarebbe un Senigallia medio. Commenti: ci sono vari modi di risolverlo. È un problema molto interessante.
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Alex90
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da Alex90 » 15 feb 2009, 13:22

Tentar non nuoce...

Anzitutto scriviamo le equazioni delle coordinate del centro di massa del sistema:





Affinchè i corpi ruotino come se fossero un corpo rigido occorre che abbiano tutti e tre la stessa velocità angolare e la risultante delle forze di attrazione gravitazionale in ognuno dei tre punti sia una forza centripeta diretta verso il centro di massa del sistema:





dove

ovvero, scomponendo le forze lungo le componenti x e y di un sistema di riferimento cartesiano:

e similmente per le componenti y







Da cui dividendo membro a membro si ottiene:



che porta ad avere e quindi se si ripete lo stesso procedimento con altri punti


Alex90
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da Alex90 » 15 feb 2009, 20:29

Per quanto riguarda il calcolo della velocità angolare:



Dal momento che abbiamo stabilito che si ha:





da cui si ha


Pigkappa
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da Pigkappa » 16 feb 2009, 15:20

Sì, e questa è probabilmente la soluzione che viene in mente più facilmente (anche io un anno fa l'avevo fatto così). Adesso cercatene una più rapida coi vettori ;)
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da Alex90 » 17 feb 2009, 17:47

Mmm...non sono un grande ammiratore dei vettori...un hint?

pascal
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da pascal » 17 feb 2009, 23:34

Col metodo vettoriale richiesto si ricavano direttamente le precedenti risposte.
Accelerazione di :



dove C è il centro di massa del sistema.
I vettori uguali al primo e terzo membro della relazione si scindono nelle stesse componenti nelle direzioni e .
Ciò implica che



Considerando anche le accelerazioni delle altre due masse si ottiene a = b = c.
Infine si ha


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CoNVeRGe.
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da CoNVeRGe. » 18 feb 2009, 12:59

pascal ha scritto:
scusami ma non riesco ad avere chiarezza su come si arrivi a questo perchè non son molto pratico di vettori..



sarebbe questo?
( = versore)

pascal
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Re: Tre corpi intorno a un asse.

Messaggio da pascal » 18 feb 2009, 13:35

Infatti l'espressione rappresenta la risultante delle forze gravitazionali su m1, dovute ad m2 ed m3, rapportata alla massa m1. L'indicazione dei vettori da P1 a P2 e da P1 a P3 serve per scrivere la composizione vettoriale delle forze e quindi l'accelerazione di m1. E' evidente che il rapporto tra un vettore e il suo modulo equivale al versore orientato come lo stesso vettore.

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