Tre punti materiali non allineati , e di masse note , e interagiscono tra loro solo per effetto delle forze di gravità, e non sono influenzati da altri corpi. Sia l'asse che passa per il centro di massa dei tre punti e che è perpendicolare al triangolo . Quali condizioni devono soddisfare la velocità angolare del sistema intorno all'asse e le distanze:
Affinchè la forma e le dimensioni del triangolo non cambino durante il moto (in altre parole, sotto quali condizioni il sistema ruota intorno all'asse come se fosse un corpo rigido)?
Fonte: IPHO 1989, Problema 2. Difficoltà: secondo me sarebbe un Senigallia medio. Commenti: ci sono vari modi di risolverlo. È un problema molto interessante.
Tre corpi intorno a un asse.
Tre corpi intorno a un asse.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Tre corpi intorno a un asse.
Tentar non nuoce...
Anzitutto scriviamo le equazioni delle coordinate del centro di massa del sistema:
Affinchè i corpi ruotino come se fossero un corpo rigido occorre che abbiano tutti e tre la stessa velocità angolare e la risultante delle forze di attrazione gravitazionale in ognuno dei tre punti sia una forza centripeta diretta verso il centro di massa del sistema:
dove
ovvero, scomponendo le forze lungo le componenti x e y di un sistema di riferimento cartesiano:
e similmente per le componenti y
Da cui dividendo membro a membro si ottiene:
che porta ad avere e quindi se si ripete lo stesso procedimento con altri punti
Anzitutto scriviamo le equazioni delle coordinate del centro di massa del sistema:
Affinchè i corpi ruotino come se fossero un corpo rigido occorre che abbiano tutti e tre la stessa velocità angolare e la risultante delle forze di attrazione gravitazionale in ognuno dei tre punti sia una forza centripeta diretta verso il centro di massa del sistema:
dove
ovvero, scomponendo le forze lungo le componenti x e y di un sistema di riferimento cartesiano:
e similmente per le componenti y
Da cui dividendo membro a membro si ottiene:
che porta ad avere e quindi se si ripete lo stesso procedimento con altri punti
Re: Tre corpi intorno a un asse.
Per quanto riguarda il calcolo della velocità angolare:
Dal momento che abbiamo stabilito che si ha:
da cui si ha
Dal momento che abbiamo stabilito che si ha:
da cui si ha
Re: Tre corpi intorno a un asse.
Sì, e questa è probabilmente la soluzione che viene in mente più facilmente (anche io un anno fa l'avevo fatto così). Adesso cercatene una più rapida coi vettori
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Re: Tre corpi intorno a un asse.
Mmm...non sono un grande ammiratore dei vettori...un hint?
Re: Tre corpi intorno a un asse.
Col metodo vettoriale richiesto si ricavano direttamente le precedenti risposte.
Accelerazione di :
dove C è il centro di massa del sistema.
I vettori uguali al primo e terzo membro della relazione si scindono nelle stesse componenti nelle direzioni e .
Ciò implica che
Considerando anche le accelerazioni delle altre due masse si ottiene a = b = c.
Infine si ha
Accelerazione di :
dove C è il centro di massa del sistema.
I vettori uguali al primo e terzo membro della relazione si scindono nelle stesse componenti nelle direzioni e .
Ciò implica che
Considerando anche le accelerazioni delle altre due masse si ottiene a = b = c.
Infine si ha
Re: Tre corpi intorno a un asse.
scusami ma non riesco ad avere chiarezza su come si arrivi a questo perchè non son molto pratico di vettori..pascal ha scritto:
sarebbe questo?
( = versore)
Re: Tre corpi intorno a un asse.
Infatti l'espressione rappresenta la risultante delle forze gravitazionali su m1, dovute ad m2 ed m3, rapportata alla massa m1. L'indicazione dei vettori da P1 a P2 e da P1 a P3 serve per scrivere la composizione vettoriale delle forze e quindi l'accelerazione di m1. E' evidente che il rapporto tra un vettore e il suo modulo equivale al versore orientato come lo stesso vettore.