10: Icosaedro di resistenze

[Andg94]

Ogni spigolo di un icosaedro è composto da una resistenza di . Trovare la resistenza equivalente tra due vertici adiacenti. (Un icosaedro è composto da 20 triangoli equilateri. Ha 12 vertici e 30 spigoli, con 5 spigoli che si incontrano ad ogni vertice. Lo saprete già, ma ricopio tutto il testo per completezza!)
Scusatemi se ho bloccato la staffetta per così tempo, spero almeno gradiate il problema.

[Triarii]

Scusa la nabbanza, ma la resistenza non è un dispositivo bipolare, nel senso che ha una entrata e una uscita? Come fa ad averle se è un punto su un vertice nel quale confluiscono 5 spigoli? Non capisco

[Pigkappa]

Penso volesse dire che ogni spigolo è composto da una resistenza, non ogni vertice.

[Andg94]

Ovviamente intendevo che ogni spigolo è composto da una resistenza, scusate l'erroraccio di trascrizione, correggo subito, grazie per avermelo segnalato!

[poor]

Se si pone una differenza di potenziale fra due vertici adiacenti, diciamo A positivo e B negativo, scorre una corrente convenzionale da A a B che esce dalle 5 resistenze aventi per estremo A ed entra nelle 5 aventi estremo B, una delle quali a comune con A. Immaginando la presenza dei due poli non contemporanea ma successiva c'è per simmetria 1/5 di corrente in uscita da A ed 1/5 in entrata a B per ognuna delle 5 resistenze. Ma il tratto da A a B è percorso nello stesso senso per cui "porta" 2/5 di corrente. Insomma facendo i conti a me verrebbe

[Andg94]

La corrente per scorrere tra le resistenze non ha bisogno, oltre che ad un'entrata, di uscire? Mi riferisco ad ognuno dei due sottocasi... La strada è buona comunque..

[poor]

Io penso che il processo reale, che va come dici tu con l'entrata contemporanea all'uscita, può pensarsi decomposto in due sottoprocessi consecutivi: un pò come quando consideri il campo prodotto da due cariche come somma dei campi di ciascuna come se l'altra non ci fosse. E poi scusa c'è un controllo inequivocabile: il risultato è giusto?

[Andg94]

No, proprio per questo! La sovrapposizione può essere applicata nel momento in cui le correnti dei due sottocasi siano costanti nel tempo. Cosa che non ho se non considero allo stesso tempo anche dei punti d'uscita.

[poor]

No, proprio per questo! La sovrapposizione può essere applicata nel momento in cui le correnti dei due sottocasi siano costanti nel tempo. Cosa che non ho se non considero allo stesso tempo anche dei punti d'uscita.

Le correnti di ciascun sottoprocesso sono COSTANTI e pari ad 1/5. Comunque ho un'altra soluzione che dà lo stesso risultato con ingressi e uscite. Considera l'icosaedro con le sue due piramidi a base pentagonale, una con il vertice diciamo a polo nord e l'altra a sud. Siano i due vertici adiacenti gli estremi di un lato del pentagono, A collegato a +V e B collegato a -V di una batteria. Chiaramente il punto medio di AB è a potenziale 0, così come i vertici delle piramidi e i punti dell'icosaedro appartenenti al piano individuato da questi 3 punti che sono equidistati da A e B. Converrai che la corrente emessa da A in uno dei 5 spigoli prima raggiunge il punto più prossimo a potenziale 0 e poi viene risucchiata da B attraverso lo spigolo corrispondente. Il primo è AB diretto e ha resistenza . Altri due spigoli da A vanno al vertice della piramide e a un vertice del pentagono sud per poi andare a B attraverso analoghi spigoli (sono chiaramente i lati dei due triangoli equilateri di base AB). Le resistenze di ciascuno di loro sono . Infine ci sono due spigoli che escono da A ed hanno bisogno di uno spigolo per arrivare a un vertice a potenziale 0 e di due altri spigoli per arrivare a B. La resistenza di questi due percorsi è di ciascuno.
E' un pò complicato ma se hai davanti la riproduzione di un icosaedro credo di essermi spiegato.
Ricapitolando abbiamo i cinque paralleli che partono da A e arrivano in B e che danno

da cui
come l'altra soluzione.

P.S. Dopo due soluzioni coincidenti che sono sbagliate, sono curiosissimo di conoscere la soluzione giusta.

[Pigkappa]

Forse non sto capendo qualcosa io, ma non è che il problema nasce dal fatto che un icosaedro ha 20 spigoli, e non 10 come la figura che secondo me ha in mente poor?

Secondo mi ci sarà qualche modo di usare le simmetrie come per il cubo anche qua, ma sarà molto più impestato e non riesco a provare alcun interesse per una cosa del genere...