Tento di darvi qualche hint, così forse qualcuno si cimenterà col problema:
Una pallina puntiforme di massa
può scorrere senza attrito all'interno della superficie di un cono di apertura
(con apertura intendo l'angolo che c'è al vertice del cono, per esempio se il cono degenerasse in un piano quest'angolo diventerebbe
).
Supponiamo che sulla pallina agisca la gravità, e che inizialmente essa si trovi ad un'altezza
dal vertice del cono (il cono è disposto ovviamente con l'asse verticale e il vertice in basso, proprio come nel filmino).
Supponiamo che la pallina abbia una certa velocità iniziale
, che converrà scomporre in due componenti: una nella stessa direzione della retta che congiunge la pallina al vertice del cono, e l'altra nella direzione perpendicolare a questa (ovviamente si suppone che la pallina non si stacchi dalla superficie interna del cono). Chiameremo queste due componenti della velocità rispettivamente
e
dove p sta per parallelo e t per tangenziale (per le stesse quantità all'istante iniziale aggiungere uno zero. I nomi sono un po' forzati ma non mi viene in mente niente di meglio)
Domanda 1)
Quali sono le condizioni sulla velocità iniziale affinchè l'altezza della pallina rimanga costante, fissati gli altri dati del problema? (ovvero la pallina, rimanendo sempre alla stessa altezza, fa un moto circolare). Calcolare il periodo di questo moto circolare.
Domanda 2)
Scrivere l'energia della pallina a un istante generico in funzione dell'altezza a cui si trova, della velocità scomposta in componenti e della massa. Si conserva?
Scrivere il momento angolare della pallina rispetto al vertice del cono all'istante iniziale (bisogna usare le espressioni vettoriali delle cose). Si conserva? Perchè?
[La risposta a questa domanda deve essere data in termini di
e
e non di
.]
[Si ricorda che il momento angolare è
, dove
è il vettore che congiunge il punto rispetto a cui si vuole calcolare il momento angolare alla massa, e
è la velocità dell'oggetto]
Domanda 3)
Consideriamo solo la componente del momento angolare lungo l'asse del cono (il momento angolare è una quantità vettoriale). Si conserva? Perchè?
Calcolarla a un istante generico del moto in funzione di
e dell'altezza
[Hint:il momento delle forze, inteso come quantità vettoriale, è nullo nella direzione dell'asse del cono.]
Domanda 4)
Sfruttando la risposta alla domanda 3, ricavare
dall'espressione del momento angolare e sostituirlo nell'espressione dell'energia.
Sfruttare adesso quest'espressione per spiegare perchè esiste un'altezza minima al di sotto della quale la pallina non può andare. Analogamente per un'altezza massima.
Calcolare queste due altezze, in funzione dei dati iniziali.
Spero che ci sia tutto, che sia comprensibile e di non essere stato pedante. Se nella domanda 4 vi viene un'equazione brutta, tipo un'equazione di terzo grado come mi sembra, usate derive o qualsiasi altro strumento di calcolo.