Macchina di Atwood... Infinita!

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Falco5x
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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 30 gen 2009, 10:55

Mi pareva di essere stato abbastanza chiaro nella mia disamina...
Ma se non ci sono altri dati, allora assumo l'ipotesi più deterministica: la prima massa si muove con accelerazione g, come se il sistema non ci fosse; anzi tutte le masse si muovono con accelerazione g, e tutte le tensioni dei fili sono nulle.
Però ci sarebbe una soluzione anche per qualsiasi altro valore di accelerazione. Ad esempio se la prima massa accelerasse con g/2, la seconda accelererebbe con 3/4g, la terza con 7/8g, e così via all'infinito. Per questo dico che il problema è indeterminato, perché qualunque soluzione è possibile.
Però mi pare un problema un po'.. insipido.
Se invece non ho capito e le cose stanno diversamente da come penso, allora vorrei una confutazione motivata.

Pigkappa
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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Pigkappa » 30 gen 2009, 15:53

Se vi torna meglio pensarlo, potete mettere una massa uguale alle altre in fondo, ma non è necessario. La risposta si può ottenere univocamente anche senza questo artificio. Potete mettere anche una massa diversa dalle altre e vedere che la risposta converge alla stessa soluzione, purchè tale massa non sia nulla. Se la massa è nulla invece si ottiene un risultato diverso, ma ovviamente questa non è la soluzione accettabile (se nell'altro caso sto sostituendo infinite masse e carrucole con una "massa equivalente" (per modo di dire), qui le sto proprio cancellando, che è peggio).

Se volete fare le cose formalmente, provate a dimostrare quello che ho detto...
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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 30 gen 2009, 16:06

Allora c'è decisamente qualcosa che non capisco, limite mio evidentemente!
A me pare che se metto una massa uguale alle altre in fondo, il sistema resta fermo, la tensione sulle corde raddoppia a ogni carrucola e arriva all'infinito sulla prima carrucola.
Stesso risultato se in fondo metto una massa di valore piccolo ma finito. Se invece la metto di valore infinitesimo il risultato può essere qualsiasi, come ho già più volte affermato.
Io resto della mia idea però... probabilmente mi sfugge qualcosa.
E allora sono curiosissimo di vedere come intendete risolvere questo problema, e poi ne discuteremo.
E se ho sbagliato pago da bere.

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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Pigkappa » 30 gen 2009, 16:11

Falco5x ha scritto:A me pare che se metto una massa uguale alle altre in fondo, il sistema resta fermo, la tensione sulle corde raddoppia a ogni carrucola e arriva all'infinito sulla prima carrucola.
Dimostralo (formalmente), allora...

Già con due sole carrucole e tre sole masse, non mi pare proprio che il sistemi resti fermo...
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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 30 gen 2009, 16:19

Pigkappa ha scritto:
Falco5x ha scritto:A me pare che se metto una massa uguale alle altre in fondo, il sistema resta fermo, la tensione sulle corde raddoppia a ogni carrucola e arriva all'infinito sulla prima carrucola.
Dimostralo (formalmente), allora...

Già con due sole carrucole e tre sole masse, non mi pare proprio che il sistemi resti fermo...
Hai ragione, ho detto una cavolata, ci penso meglio!

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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 31 gen 2009, 9:14

Sorry! :oops:
Avevo ragionato affrettatamente.
Finalmente mi sono deciso a prendere carta e penna e a svolgere i noiosissimi calcoli (sigh! :( ), verificando che la soluzione converge (forse) a:

(il segno meno indica che l'accelerazione è rivolta verso l'alto)

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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 1 feb 2009, 4:37

Falco5x ha scritto:la soluzione converge (forse) a:

(il segno meno indica che l'accelerazione è rivolta verso l'alto)
Seppure tardivamente, il metodo "furbo" per risolvere questo problema l'ho trovato; cancello il "forse" e dico che la soluzione è proprio quella. Non occorre fare iterazioni, basta fare la considerazione che il sistema dalla seconda carrucola in poi si comporterebbe esattamente come l'intero sistema se fosse ancorato in un punto fisso, anziché in un punto con accelerazione "a".
Adesso posso dire anch'io "bello questo problema". Meglio tardi che mai! ;)

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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Paolo90 » 1 feb 2009, 19:24

Penso di aver trovato la stessa soluzione di falco5x ma la scrivo lo stesso perche' non so se il mio ragionamento e' valido: indico con le masse numerate a partire dall'alto, e le rispettive carrucole. si muovera' verso l'alto con accelerazione , mentre si muovera' verso il basso con la stessa accelerazione. Prendiamo un sistema di riferimento solidale con , in questo sistema la macchina di atwood se osservata dalla seconda carrucola in giu' sara assolutamente identica alla macchina di atwood osservata nel primo sistema di riferimento dalla prima carrucola. Ne consegue che si muove verso l'alto con accelerazione (nel sistema di riferimento non inerziale, quindi in quello inerziale e' ferma). Su agiscono due forze: la forza peso verso il basso e una forza fittizzia di modulo verso l'alto. L'accelerazione di gravita' pero' inquesto sistema di riferimento non e' , ma , in quanto il sistema e' accelerato verso il basso.

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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Falco5x » 1 feb 2009, 22:06

Paolo90 ha scritto:... Ne consegue che si muove verso l'alto con accelerazione (nel sistema di riferimento non inerziale, quindi in quello inerziale e' ferma). Su agiscono due forze: la forza peso verso il basso e una forza fittizzia di modulo verso l'alto. L'accelerazione di gravita' pero' inquesto sistema di riferimento non e' , ma , in quanto il sistema e' accelerato verso il basso.
Mi sembra che qualcosa non vada nel tuo ragionamento.
Primo problema: se il sistema visto dalla seconda carrucola in poi deve avere le stesse caratteristiche di quello visto dalla prima carrucola, e se il sistema dalla seconda carrucola in poi risente di una gravità (relativa) pari a g-a, come può essere che la massa m2 si muova verso l'alto con accelerazione a (relativa)? ciò accadrebbe solo se la gravità relativa fosse g, come testimonia il sistema visto dalla prima carrucola!
Secondo problema: se la m2 si muove con accelerazione (relativa) verso l'alto, la sua forza fittizia è diretta verso il basso e si aggiunge, non si sottrae a . Il risultato sarebbe una tensione sul filo pari a , e non 0!
Ciò significherebbe una tensione sul filo che va alla prima carrucola pari a , e allora la m1 si muoverebbe verso l'alto con accelerazione .
Forse devi ripensare la cosa, anche se la strada è quella giusta.

Donato Palermo
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Re: Macchina di Atwood... Infinita!

Messaggio da Donato Palermo » 15 feb 2009, 0:21

Falco5x ha scritto:
Falco5x ha scritto:la soluzione converge (forse) a:

(il segno meno indica che l'accelerazione è rivolta verso l'alto)
Seppure tardivamente, il metodo "furbo" per risolvere questo problema l'ho trovato; cancello il "forse" e dico che la soluzione è proprio quella. Non occorre fare iterazioni, basta fare la considerazione che il sistema dalla seconda carrucola in poi si comporterebbe esattamente come l'intero sistema se fosse ancorato in un punto fisso, anziché in un punto con accelerazione "a".
Adesso posso dire anch'io "bello questo problema". Meglio tardi che mai! ;)
come nell'ultimo problema postato da pigkappa devi mostrare il tuo ragionamento nn puoi fare un copia e incolla del risultato

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