Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

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Pigkappa
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Pigkappa » 22 set 2015, 16:19

Ora dovrebbe esserci tutto! Se trovate link mancanti o doppioni, avvisatemi
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Francesco Mele
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Francesco Mele » 8 mag 2016, 0:54

Qualcuno potrebbe scrivere la soluzione del primo problema di matematica del 2015?
"Determina tutte le terne di interi positivi (a,b,c) tale che a^7 + b^7= 7^c ."

Grazie mille. ;)

rocco
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da rocco » 23 mag 2016, 18:11

Ho visto per caso questo straordinario "problemino", di un tipo che non dovrebbe mai essere dato ai test sns: una lezione per chi li vorrà fare. Infatti si può dimostrare che il problema non ha soluzioni. Immagina i poveretti che lo hanno affrontato...

sall96
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da sall96 » 23 mag 2016, 22:24

Scusa perché non dovrebbe essere mai dato?
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Simone256
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Simone256 » 23 mag 2016, 23:30

Ma l'essenza delle equazioni diofantee è scoprire che non hanno soluzioni! Minghie non avere soluzioni è l'emblema! Ciè se un'equazione diofantea ha una soluzione non banale và bruciata!
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Simone256
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Simone256 » 23 mag 2016, 23:54

(A parte gli scherzi... Trovare una soluzione non vuol dire niente... Chi concorreva al test con un minimo di preparazione non si è messo a sparare terne a caso sperando funzionassero. Cercava di trovare tutte e sole le soluzioni. Se non ci sono soluzioni bisognava impegnarsi a dimostrarlo! TdN spesso vuol dir questo.)
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FedericoC.
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da FedericoC. » 24 mag 2016, 14:17

Provo a dare la mia soluzione :D

Dato: dove a,b,c sono interi positivi

Scomponendo:

Ora dato che il primo membro deve essere una potenza di la prima parentesi dovrà essere anch'essa una potenza di . Quindi è necessariamente dispari, perciò i due numeri non possono essere né entrambi pari né entrambi dispari. Da ciò ragionando sulla parità e disparità della seconda parentesi, si deduce che in tale condizione è pari. Il prodotto non può quindi essere una potenza di sette a esponente intero positivo.

Pigkappa
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Pigkappa » 24 mag 2016, 14:51

FedericoC. ha scritto: è necessariamente dispari, perciò i due numeri non possono essere né entrambi pari né entrambi dispari. Da ciò ragionando sulla parità e disparità della seconda parentesi, si deduce che in tale condizione è pari.
A me non sembra...
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rocco
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da rocco » 25 mag 2016, 11:54

Ha ragione Pigkappa,la dimostrazione è più complessa. Una può essere questa.Si suppone per assurdo che esistano soluzioni di e si considera quella, ci sarà sicuramente, con c minimo. Allora si danno due casi.
1) a e b sono divisibili per 7(si vede subito che non può essere che lo sia solo uno dei due). In questo caso anche (a/7), (b/7) e c-7 è soluzione contraddicendo al fatto che c era il minimo.
2) a e b non sono divisibili per 7 ma allora, anche per lo sviluppo binomiale citato da Federico, (a+b) deve essere multiplo di 7 ovvero b= k.7-a. Per cui. Lo sviluppo banale del binomio di Newton con l'eliminazione di mostra che tutti i termini sono divisibili per 7 e che al massimo si può dividerli tutti per cioè che la massima potenza di 7 per cui è divisibile è . Quindi se (a+b) è divisibile per 7, è divisibile per . Come dire che se (a+b) è divisibile per allora è divisibile per . Dunque se divide allora divide (a+b).
In conclusione 7(a+b) che è assurda perchè uno fra a e b deve valere almeno 2.

Francesco Mele
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Re: Soluzioni SNS sui forum Olimat e Olifis.

Messaggio da Francesco Mele » 5 giu 2016, 11:52

Grazie mille! Mi è piaciuta molto questa dimostrazione. Ne avevo viste altre con il Lemma LTE, ma dato che ancora non l'ho studiato, non mi sono sembrate proprio simpatiche come dimostrazioni.
Giusto una cosa:
Nel primo caso la terna che contraddice la tua ipotesi del minimo dovrebbe essere: (a/7;b/7;c-1) e non "c-7".
rocco ha scritto: 1) a e b sono divisibili per 7(si vede subito che non può essere che lo sia solo uno dei due). In questo caso anche (a/7), (b/7) e c-7 è soluzione contraddicendo al fatto che c era il minimo.

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