SNS 1994 n. 5 - Satellite

[Loren Kocillari89]

Secondo me va sommata all'energia meccanica totale.
Ma quell'energia da dove viene? Cioè cos'era prima dell'esplosione? Energia potenziale che faceva stare insieme i 2 pezzi?

Io la penso come all'energia interna del satellite che viene liberata ma non viene dispersa, per cui l'energia totale del satellite rimane invariata. Quello che cambia è l'energia cinetica e potenziale del sistema al variare della posizione, quindi anche l'orbita necessariamente sarà diversa, la quale si può pensare ad un'ellisse. Nel punto in apogeo, infatti accade che la massa minore che quindi ha energia minore, sarà ad un altezza limite al di sotto della quale cadrà verso terra.
Ora un conto è dire e un conto è fare

[Rigel]

Secondo me va sommata all'energia meccanica totale.
Ma quell'energia da dove viene? Cioè cos'era prima dell'esplosione? Energia potenziale che faceva stare insieme i 2 pezzi?

A causa di un'esplosione nel reattore che alimenta un satellite in orbita intorno alla Terra...

L'energia dovrebbe venire dal reattore, quindi potrebbe essere energia nucleare, o termica, o chimica, o elettrica che prima era usata per muovere il satellite.

No, io l'ho interpretato come: l'energia cinetica totale dei due frammenti dopo l'esplosione è un decimillesimo dell'energia cinetica iniziale del satellite. Quindi , dove 1 e 0 indicano dopo e prima dell'esplosione.

Sì ma così l'energia diminuirebbe dopo l'esplosione, il che mi sembra paradossale. Secondo me l'energia dell'esplosione si dovrebbe sommare all'energia iniziale. Come sempre una bella difficoltà degli SNS è data dall'interpretazione del testo

[Davide90]

Però il testo dice che quella parte su diecimila dell'energia iniziale rappresenta l'energia liberata dall'esplosione e quindi non può essere l'energia cinetica totale...

L'energia liberata nell'esplosione è circa una parte su diecimila dell'energia cinetica del satellite e si trasforma nella sua quasi totalità in energia cinetica traslazionale dei due frammenti.

Secondo me il testo indica che quella parte su diecimila diventa l'energia cinetica totale dei due frammenti.

Come lo hai risolto?

Dopo l'esplosione, i due frammenti si allontanano in direzioni opposte con velocità e ; dopodichè si assestano su un'orbita circolare di raggio R che dipende dalla velocità del frammento, in base all'uguaglianza tra accelerazione centripeta e gravitazionale:

dove è la massa della Terra.
A questo punto, ricaviamo e grazie alla conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, considerando che dell'energia cinetica prima dell'esplosione risulta disponibile solo la decimillesima parte:


Combinando con l'equazione (1), e ricavando dalla prima equazione, otteniamo




Ricavando invece si ottiene l'equazione simmetrica della (3), ottenuta cioè scambiando il ruolo di e , quindi

Dunque i frammenti riescono ad assestarsi su orbite interne all'atmosfera e precipitare solo se è al di fuori dell'intervallo (4); ma in questo caso il frammento più piccolo ha massa molto inferiore al quintale, dunque non raggiunge la superficie terrestre, mentre l'altro, raggiungendo una velocità pari a circa un centesimo della velocità del satellite, si assesta su un'orbita di raggio diecimila volte più grande di quella del satellite.

EDIT: questa interpretazione è: l'energia cinetica dei frammenti è un decimillesimo dell'energia cinetica del satellite... dal testo mi sembra quella più giusta, anche se è molto meno sensata.
Dunque i risultati giusti forse saranno quelli di Converge... Morale: passa la prima mezz'ora del 28 agosto a fare domande sul testo.

[mrossi]

Si anch'io la intenderei in quest'ultimo modo, comunque direi che ormai potremmo postare le soluzioni

[Davide90]

Comunque se vogliamo interpretare che l'energia dopo l'esplosione è uguale a volte quella iniziale, possiamo approssimare che l'energia cinetica rimanga uguale e i miei conti vanno bene, togliendo quel dall'intervallo (4), quindi il satellite arriverebbe a Terra se

[Rigel]

dopodichè si assestano su un'orbita circolare di raggio R che dipende dalla velocità del frammento, in base all'uguaglianza tra accelerazione centripeta e gravitazionale

No i frammenti si "assestano" su orbite ellittiche di cui devi calcolare il perigeo per valutare se l'orbita porta il frammento nell'atmosfera.
Comunque al test io mi porterei un linguista

[Davide90]

No i frammenti si "assestano" su orbite ellittiche di cui devi calcolare il perigeo per valutare se l'orbita porta il frammento nell'atmosfera.

Verrebbero fuori dei conti sovrumani però, così a occhio... Già i miei sono discreti per un sns 1994, no?
A questo punto aspetterei soluzioni alternative...

A proposito di linguista: avete notato che nel 2008 n. 3 c'era "spenge" " anzichè "spegne"?

[Alex90]

A proposito di linguista: avete notato che nel 2008 n. 3 c'era "spenge" " anzichè "spegne"?

Devo dire che mi sembra l'ultimo dettaglio da guardare in quel "simpatico" problema

[CoNVeRGe.]

Io ho imposto che la velocità di un pezzo fosse minore o uguale di quella necessaria per compiere un'orbita ellittica che tange l'orbita iniziale (nel suo punto di afelio) e tange l'atmosfera (nel suo punto di perielio). Per fare ciò ho imposto che l'energia meccanica di un pezzo fosse minore o uguale a quella dell'orbita ellittica che ho sopra descritto.
Quest'ultima energia la si calcola con la conservazione del momento angolare tra perielio e afelio insieme alla conservazione dell'energia.

Per calcolarci la velocità di un pezzo ho usato la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia.

I calcoli sono abbastanza numerosi, anche se meno di quanto ci si possa aspettare ad un certo punto .

E' utile scrivere il rapporto richiesto dal testo come

[CoNVeRGe.]

Ho corretto il risultato nel messaggio della pagina precedente. In pratica mi viene che per qualsiasi valore del rapporto un pezzo arriva sulla Terra. Forse ho sbagliato i calcoli (ma non credo perchè li ho ricontrollati più volte) o mi sono impappinato con le disuguaglianze. Se trovate altri intervalli fate sapere.

Se quel che ho trovato è giusto magari si potevano sviare tutti i calcoli accorgendosi da subito di questo fatto.

Il risultato sembrerebbe ragionevole se assumiamo . Infatti le due masse avrebbero praticamente metà dell'energia totale iniziale e dunque "molto" probabilmente cadrebbero entrambe a terra (e peserebbero 50 quintali).