Posto solo la seconda parte, che ha una soluzione molto simpatica.
Un sistema di specchi è costituito da due semipiani perfettamente riflettenti disposti a formare un angolo di 45°. Siano dati due punti, A e B, all'interno dell'angolo formato dai due specchi. Si dimostri che indipendentemente dalla loro posizione non esistono traiettorie ottiche da A a B con più di 4 riflessioni.
hint: gli specchi specchiano. Non ammazzatevi di trigonometria, specchiate! ;p
SNS 1993/1994 n°5 - ottica geometrica
Re: SNS 1993/1994 n°5 - ottica geometrica
Bello, un po' come giocare a biliardo.
Per ottenere la traiettoria del raggio dopo il rimbalzo si può, invece di riflettere il raggio, riflettere il bigliardo rispetto allo specchio raggiunto dal raggio (cioè disegnare un biliardo simmetrico rispetto al piano dello specchio). La traiettoria del raggio è così una linea retta. Iterando le simmetrie dividiamo il piano in 8 spicchi. Il raggio può avere al massimo 4 rimbalzi perché al massimo incontra ognuna delle 4 rette in un punto.
NB: il problema era nello spazio e qua è risolto nel piano. Ovviamente i rimbalzi non influiscono solo sulla componente della velocità parallela al piano dello specchio quindi sono equivalenti.
Per ottenere la traiettoria del raggio dopo il rimbalzo si può, invece di riflettere il raggio, riflettere il bigliardo rispetto allo specchio raggiunto dal raggio (cioè disegnare un biliardo simmetrico rispetto al piano dello specchio). La traiettoria del raggio è così una linea retta. Iterando le simmetrie dividiamo il piano in 8 spicchi. Il raggio può avere al massimo 4 rimbalzi perché al massimo incontra ognuna delle 4 rette in un punto.
NB: il problema era nello spazio e qua è risolto nel piano. Ovviamente i rimbalzi non influiscono solo sulla componente della velocità parallela al piano dello specchio quindi sono equivalenti.
Re: SNS 1993/1994 n°5 - ottica geometrica
Io ho provato risolverlo in questo modo, distinguendo 3 casi e facendo passare il primo raggio per il punto posto a distanza maggiore rispetto al vertice dell'angolo formato dai due specchi:
1) l'angolo di incidenza del raggio sullo specchio inclinato di 45° rispetto all'orizzontale è pari a 45° o 0°: nel primo caso il raggio è parallelo allo specchio posto sull'orizzontale, si riflette in modo perpendicolare a questo, poi ritorna indietro seguendo lo stesso percorso iniziale; nel secondo caso, dopo la seconda riflessione il raggio si riflette parallelo allo specchio inclinato
2) l'angolo di incidenza è maggiore di 45°: dopo la quarta riflessione il raggio comincia a divergere rispetto allo specchio inclinato.
3) l'angolo di incidenza è minore di 45°: dopo la terza riflessione il raggio comincia a divergere rispetto allo specchio posto sull'orizzontale.
Dovrebbe quindi essere dimostrata la tesi, giusto?
1) l'angolo di incidenza del raggio sullo specchio inclinato di 45° rispetto all'orizzontale è pari a 45° o 0°: nel primo caso il raggio è parallelo allo specchio posto sull'orizzontale, si riflette in modo perpendicolare a questo, poi ritorna indietro seguendo lo stesso percorso iniziale; nel secondo caso, dopo la seconda riflessione il raggio si riflette parallelo allo specchio inclinato
2) l'angolo di incidenza è maggiore di 45°: dopo la quarta riflessione il raggio comincia a divergere rispetto allo specchio inclinato.
3) l'angolo di incidenza è minore di 45°: dopo la terza riflessione il raggio comincia a divergere rispetto allo specchio posto sull'orizzontale.
Dovrebbe quindi essere dimostrata la tesi, giusto?
Re: SNS 1993/1994 n°5 - ottica geometrica
intuitivamente sì, però dovresti spiegare perchè il raggio diverge. Non vedo un modo rapido e pulito di dimostrarlo. La dimostrazione che sfrutta la simmetria sembra decisamente la strada migliore.
Re: SNS 1993/1994 n°5 - ottica geometrica
Diverge perchè nel caso 2) dopo la quarta riflessione gli angoli che i raggi formano con l'orizzontale sono minori di 45°. Nel caso 3) invece i raggi dopo la terza riflessione formano, rispetto alla normale allo specchio inclinato, angoli maggiori di 45°. Si può vedere bene con un semplice disegno...Ippo ha scritto:intuitivamente sì, però dovresti spiegare perchè il raggio diverge. Non vedo un modo rapido e pulito di dimostrarlo. La dimostrazione che sfrutta la simmetria sembra decisamente la strada migliore.