due masse a distanza d con cavita sferica

[MrTeo]

Bè, sì... per mettere una pietra sopra a questo topic posto anche la mia soluzione, che altro non è che l'applicazione del calcolo del centro di massa alla legge di gravitazione. Prima di tutto come già indicato trovo l'ascissa di calcolando la componente della sfera scavata con il segno negativo, poi sostituisco i valori nella formula (la distanza tra i due corpi diventa così ) ed è finito:





Il procedimento è leggermente più contoso, ma piuttosto diretto... ma non capisco dove sia la falla nel ragionamento, dato che, sostituendo valori numerici come ho detto i due risultati (quello ottenuto da questa formula e quello ottenuto con la formula di Alex90) sono molto vicini ma non corrispondono (per M=100kg, m=1kg, d=10m, r=2m mi pare vengano rispettivamente 0,850G e 0,845G). Se qualcuno ha un'idea al riguardo si faccia sentire

[Alex90]

)

Non dovrebbe essere ?

[Ippo]

La soluzione di Alex90 sfrutta il principio di sovrapposizione: considera un sistema in cui c'è solo la sfera grande (piena e di massa positiva) ed un altro in cui c'è solo la sfera piccola (piena e di massa negativa), calcola le forze generate in ciascun sistema e poi li sovrappone in modo che le masse positiva e negativa si elidano formando la cavità. È un metodo molto potente, oltre che elegante.
Esercizi carini su questo principio (oltre a quello discusso in questo topic) possono essere ad esempio questi:
- sia dato un guscio emisferico. Si dimostri che il vettore campo gravitazionale in ogni punto del cerchio di base dell'emisfero è ortogonale al piano del cerchio stesso.
- Sia dato uno spazio infinito pieno d'acqua (non esistono effetti di bordo) salvo due cavità sferiche vuote. Come evolve il sistema?
- Oslo '96, problema 1e. Qui si parla di elettromagneitsmo, ma è la stessa cosa. Consiglio di usare i vettori.
- calcolare il momento d'inerzia di una sfera di raggio R con una cavità sferica concentrica di raggio r<R, con densità uniforme nella parte piena, usando solo la formula per l'inerzia di una sfera piena . Con questo trucchetto si faceva qualche frazione di punto gratis nel problema 1 delle IPhO, senza usare integrali o altro. Variante: e se la cavità non è concentrica alla sfera piena ma ha centro in un punto generico al suo interno? (si tratta in pratica della sfera discussa in questo problema).

Magari se volete discuterli aprite topic separati.

[String]

)

Non dovrebbe essere ?

Perchè? In base alla tua figura, il baricentro della sfera più grande si sposta più a sinistra, quindi se l'altra sfera sta alla sua destra bisogna sommare, non sottrarre, giusto?
In effetti sembra strano pure a me che con questo metodo non venga...Comunque, bella la tua soluzione

[Pairo]

- sia dato un guscio emisferico. Si dimostri che il vettore campo gravitazionale in ogni punto del cerchio di base dell'emisfero è ortogonale al piano del cerchio stesso.

Può andare così?:
Supponiamo per assurdo che in un punto del cerchio P il campo abbia una componente nel piano del cerchio: supponiamo adesso di sovrapporre a questa emisfera l'altra in modo da formare un guscio intero: per il teorema del guscio, nel punto P adesso il campo deve essere nullo; ma evidentemente, qualsiasi componente del campo nel piano del cerchio dato dai due emisferi avrebbe lo stesso verso e non si annullerebbe: essendo il campo nullo ne segue la tesi

[Alex90]

Ops è vero...ho guardato l'altra

[Ippo]

Può andare così?:
Supponiamo per assurdo che in un punto del cerchio P il campo abbia una componente nel piano del cerchio: supponiamo adesso di sovrapporre a questa emisfera l'altra in modo da formare un guscio intero: per il teorema del guscio, nel punto P adesso il campo deve essere nullo; ma evidentemente, qualsiasi componente del campo nel piano del cerchio dato dai due emisferi avrebbe lo stesso verso e non si annullerebbe: essendo il campo nullo ne segue la tesi

Ok

[Pairo]

Grazie

[Microonde]

poi sostituisco i valori nella formula (la distanza tra i due corpi diventa così ) ed è finito:



Il procedimento è leggermente più contoso, ma piuttosto diretto... ma non capisco dove sia la falla nel ragionamento, dato che, sostituendo valori numerici come ho detto i due risultati (quello ottenuto da questa formula e quello ottenuto con la formula di Alex90) sono molto vicini ma non corrispondono (per M=100kg, m=1kg, d=10m, r=2m mi pare vengano rispettivamente 0,850G e 0,845G). Se qualcuno ha un'idea al riguardo si faccia sentire

Beh, la falla direi e` che la legge di gravitazione universale non dice che la distanza fra i corpi che appare nella legge e` la distanza fra i baricentri. In verita` la legge e` applicabile solo a corpi punti formi. In altri casi a rigore occorre integrare i contributi di ogni parte del corpo. Solo per "caso" calcolando le forze fra due oggetti sferici si ha che la "distanza" fra gli oggetti risulta quella fra i baricentri... Anche il punto di applicazione della forza gravitazionale non e` quasi mai il baricentro.

Poi certamente esistono vari risultati notevoli per quanto riguarda distanze e punti di aplicazione: Per esempio si ha che nel caso di un campo gravitazionale uniforme il punto di applicazione della forza gravitazionale risulta essere proprio il baricentro dell'oggetto ecc. Comunque tutti questi risultati si ottengono in base all'applicazione della legge di gavitazione universale ad oggetti uniformi.

Infine un'ultimo esempio: Considerate un anello grosso e pesante (con distribuzione di massa uniforme). Ovviamente il suo baricentro e` al centro dell'anello ma fuori dall'oggetto stesso. E` evidente che la forza gravitazionale fra l'anello e una piccola pallina che uno cerca di mettere al centro non tende all'infinito (la distanza fra i baricentri tende a zero). Tanto meno questo vale per una pallina all'interno di un guscio sferico. Quindi non si puo` considerare tutta la massa concentrata nel baricentro del corpo irregolare