SNS 2005/2006 Problema 6

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SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da CoNVeRGe. » 21 lug 2009, 0:01

Ecco un problema (secondo me molto carino) per il quale non mi ritrovo col risultato (confrontandomi con due discussioni nell'oliforum).
La differenza dei risultati è minima (un 3 al posto di un 5) ed è dovuta esclusivamente alla conservazione dell'energia. Sarei contento ( :mrgreen: :mrgreen: ) se questa si discutesse anche tra chi l'ha già svolto o chi non ha intenzione di svolgerlo tutto.


Un gas monoatomico ideale scorre all’interno di un lungo tubo di sezione costante . Nel primo tratto del tubo, la velocità di scorrimento del gas è , la sua temperatura e la sua densità . Nel mezzo del tubo vi è un dispositivo solidale col tubo che cede al gas una quantità di energia per unità di tempo pari a . Nel tratto finale del tubo, la velocità di scorrimento del gas è con , la sua temperatura e la sua densità . Assumendo che la pressione del gas lungo tutto il tubo sia costante, si determini la forza di reazione risultante sul tubo in funzione di .

String
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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da String » 22 lug 2009, 17:22

Ho provato a risolverlo, ma ho qualche dubbio sulla mia soluzione e tra l'altro anche a me esce un 3 invece di un 5...Allora, supponiamo che in mezzo al tubo non ci sia quel dispositivo e che la velocità aumenti a causa di una diminuzione della sezione. In queste condizioni, fra le due sezioni ci sarà una determinata differenza di pressione, ma il problema dice che la pressione del gas è costante lungo il tubo, quindi evidentemente il gas dovrà esercitare sul tubo un'ulteriore forza corrispondente a questa differrenza di pressione. Abbiamo quindi:



L'energia fornita dal dispositivo presente nel tubo produce una variazione dell'energia cinetica del gas e anche una variazione della sua energia interna. In formule:



Sosituiamo ora nella (1) l'espressione di che si ricava dalla (2) e si trova:





Ora al posto di sostituisco e al posto di MM quindi si giunge a



Sappiamo inoltre per l’equazione dei gas perfetti che



Sostituendo si ottiene ancora:



Ora per sapere la forza dovrei moltiplicare per la superficie laterale del cilindro, pari a



Per eliminare la dipendenza da r prendo un tale che e si arriva a :



Come si può vedere oltre che un 3 al posto del 5 manca anche un 2 al secondo termine del denominatore. Inoltre vorrei capire perchè il risultato corretto viene prorio se calcolo la forza su un tratto di tubo tale che
Dove sta l'errore?

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CoNVeRGe.
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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da CoNVeRGe. » 22 lug 2009, 20:27

String ha scritto: Allora, supponiamo che in mezzo al tubo non ci sia quel dispositivo e che la velocità aumenti a causa di una diminuzione della sezione. In queste condizioni, fra le due sezioni ci sarà una determinata differenza di pressione, ma il problema dice che la pressione del gas è costante lungo il tubo, quindi evidentemente il gas dovrà esercitare sul tubo un'ulteriore forza corrispondente a questa differrenza di pressione. Abbiamo quindi:



[...]

Ora per sapere la forza dovrei moltiplicare per la superficie laterale del cilindro, pari a



Per eliminare la dipendenza da r prendo un tale che [...]
Non capisco perchè supponi un sistema diverso. Evidentemente vuoi renderlo equivalente ma non capisco per quali aspetti..
E poi di che forza parli? La sezione laterale che c'entra? (l'eliminazione della dipendenza è indice che la soluzione è molto dubbia :roll: , dovresti cambiare approccio.. )


Io nel frattempo ho riflettuto un po' e mi sono accorto del mio errore (cioè di aver trascurato un termine nella conservazione dell'energia che in effetti andava messo).

Chiedete un aiuto se volete. 8-)

String
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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da String » 22 lug 2009, 21:26

oook ho sparato solo cavolate, vabbè, ci penserò ancora un pò su :)

Hope
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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da Hope » 23 lug 2009, 9:44

dai la soluzione

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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da CoNVeRGe. » 23 lug 2009, 10:45

String ha scritto:
Che passaggio c'è?

Ecco il primo hint per chiarire la direzione della forza: il liquido subisce un'accelerazione, quindi è sottoposto ad una forza. Stessa forza (con verso opposto) agisce sul dispositivo, e cioè sul tubo. Per calcolarla considerate quindi una parte di gas (e ) che viene accelerata.

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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da String » 23 lug 2009, 11:18

CoNVeRGe. ha scritto: Ecco il primo hint per chiarire la direzione della forza: il liquido subisce un'accelerazione, quindi è sottoposto ad una forza. Stessa forza (con verso opposto) agisce sul dispositivo, e cioè sul tubo. Per calcolarla considerate quindi una massa (e ) che viene accelerata.
Si, mi sono accorto che prima non avevo capito bene la forza richiesta dal problema...
CoNVeRGe. ha scritto:
String ha scritto:
Che passaggio c'è?
Mah, sempre che ciò che ho detto sia giusto, se consideriamo una determinata quantità di gas prima e dopo l'azione del dispositivo, allora questa percorre in un intervallo di tempo volumi diversi a causa della differente velocità nei due casi. Per l'equazione dei gas perfetti abbiamo quindi:

prima:

dopo:

Facendo il rapporto membro a membro si ottiene



Giusto?

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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da CoNVeRGe. » 23 lug 2009, 11:32

String ha scritto: Mah, sempre che ciò che ho detto sia giusto, se consideriamo una determinata quantità di gas prima e dopo l'azione del dispositivo, allora questa percorre in un intervallo di tempo volumi diversi a causa della differente velocità nei due casi. Per l'equazione dei gas perfetti abbiamo quindi:

prima:

dopo:

Facendo il rapporto membro a membro si ottiene



Giusto?
Sì è giusto. Io avevo ottenuto quella relazione in modo diverso.

Per la conservazione della porta massica:



Per l'equazione dei gas perfetti:



Quindi:



Ottengo quindi una relazione anche con le densità che tuttavia non è necessario avere nel procedimento del problema.

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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da eli9o » 23 lug 2009, 12:15

L'energia fornita dal dispositivo aumenterà l'energia cinetica di traslazione e la temperatura. Cioè
Ma e utilizzando la legge dei gas perfetti (e ricordando che ) otteniamo
Calcoliamo ora . Abbiamo che quindi
Per il teorema dell'impulso quindi
Ora abbiamo tutto. Sostituiamo nell'equazione della conservazione dell'energia e ricavando otteniamo

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Re: SNS 2005/2006 Problema 6

Messaggio da String » 23 lug 2009, 13:13

Scusate, ma ditemi perchè procedendo in modo simile (cioè usando le stesse espressioni per la conservazione dell'energia e per la forza) il risultato viene leggermente diverso.
Abbiamo detto che



Possiamo poi scrivere l'espressione della forza come



Sostituendo a l'espressione che si trova dalla prima equazione alla fine si trova questo:



:?:

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