Sns 2006/07 problema 5

[Julio14]

Si consideri uno specchio che riflette il 98% dell'energia luminosa incidente, ne trasmette l'1% e ne assorbe l'1%. Le due facce dello specchio sono identiche e si comportano nello stesso modo. Un raggio di luce viene fatto passare attraverso due di questi specchi identici e paralleli tra loro, posti alla distanza di un metro l'uno dall'altro.
Ambedue gli specchi sono perpendicolari alla direzione del raggio di luce. La potenza luminosa del raggio incidente sul primo specchio è di 1 Watt.
a) Si calcoli la potenza del raggio di luce trasmesso dal secondo specchio.
b) Si calcoli l'energia luminosa totale contenuta nello spazio compreso tra i due specchi.
c) Se, ad un certo istante, il raggio incidente sul primo specchio viene spento, si calcoli dopo quanto tempo l'energia luminosa di cui al punto b) si sarà ridotta della metà.

[CoNVeRGe.]

SNS-time?

(EDIT: 1000-esimo messaggio della sezione )

[Julio14]

Up! Avevo fatto questo thread anche perché a me viene un risultato diverso dalle soluzioni nel b e volevo vedere se qualcuno riesce a trovarmi che errore faccio... Ma mettere un problema e scrivere io la soluzione per primo è un po' triste! Dai, non ditemi che non c'è nessun aspirante normalista che ha voglia di farlo!

[MrTeo]

Bè, non sono propriamente un aspirante, ma tento lo stesso
Tra i due specchi il raggio iniziale viene trasmesso per l'1%, poi riflesso da S2 per il 0,98% e trasmesso per lo 0,01%. La componente riflessa colpendo S1 perde ancora energia, un po' torna indietro al di là del primo specchio (lo 0,098%) e parte viene riflessa all'interno. Si continua così per . Ora bisogna (Argh! ) formalizzare questo fenomeno (sarò un po' crucco, ma per non perdere la testa con le riflessioni preferisco usare una tabella...):



Le frecce indicano il senso di percorrenza del raggio nel "gap" tra i due specchi... piuttosto intuitivamente direi che è una progressione geometrica di ragione e termine iniziale , la somma dei suoi elementi vale dunque:



Qui credo che un bel limite per potrebbe aiutare... ma non mi azzardo a tentare calcoli a quest'ora perchè i limiti me li sto ancora studiando, quindi per la sperimentazione sul campo attendo una fase di maggior lucidità . Facendo le stesse considerazioni per la luce trasmessa dal secondo specchio (con la tabellina ormai di rito...):



Qui le parentesi indicano le componenti che non si debbono contare perchè vengono trasmesse a sinistra del sistema di due specchi... a questo punto so che la somma andrà moltiplicata per un coefficiente fisso e mi pare che la potenza proceda sempre con un anadamento geometrico, ma con ragione . Quindi basta proseguire nello stesso modo che per il punto b per trovare il valore definitivo dell'energia trasmessa dopo "infinite" riflessioni. Infine per il punto c direi che basta risolvere l'equazione:



per trovare la riflessione in concomitanza della quale si ottiene il dimezzamento della potenza e poi calcolare il tempo considerando la distanza tra gli specchi e il MRU della luce a velocità . La parola agli altri, anche per colmare le mie lacune (matematiche e probabilmente non solo )

[spn]

Va bè, se nessun aspirante normalista vuole farlo provo a dare la mia soluzione ( io c'ho ancora un anno per diventarlo ).

1)
All'equilibrio la potenza entrante è uguale a quella uscente o dissipata, inoltre già il 99% della luce entrante viene riflettuto o assorbito entrando, percui:



Dove e sono le potenze dei raggi uscenti nel primo e nel secondo specchio, moltiplicate per 2 perchè la quantità di luce assorbità dallo specchio è uguale a quella che lascia passare.
Inoltre si ha che:



Sostituendo si ha:



2)
Chiamando e l'intensità dei raggi di luce che vanno rispettivamente dal primo specchio al secondo, e dal secondo specchio al primo, si ha:



dove t è il tempo che la luce ci mette da andare da uno specchio all'altro, quindi

Inoltre:




mettendo a sistema





Ora:


3)
Dopo ogni viaggio da specchio a specchio l'intensità del raggio luminoso divento lo 0,98 del valore precedente, e siccome abbiamo visto che l'energia luminosa compresa tra gli specchi dipende dall'intensità del raggio allora essa diventerà la metà quando l'intensità sarà la metà, quindi valgono:




Diciamo che, a parte per il terzo punto, non ho usato gli stessi metodi di MrTeo, ma fare quel calcolo con i limiti non mi convince tanto. Bhò ditemi voi che ne pensate. Ora tocca a te Julio14 farci vedere come l'hai fatto

[MrTeo]

Partiamo dalle cose che funzionano
Per il primo punto (che ho fatto per secondo...) il limite mi dà un valore come il tuo (qualcosa che non potesse convincerti c'era: avevo scritto 0,1 per indicare la percentuale trasmessa quando era lo 0,01 (1%)... cmq ho già editato per evitare altra onta alla mia persona )






Detto ciò, escludendo il terzo punto, su cui le nostre risoluzioni coincidono, resta il secondo punto, e in effetti nella mia risposta si spiegava solo come trovare l'intensità luminosa per iterazioni, quando invece mi sono accorto solo dopo che il problema chiedeva l'energia, quindi che il valore in Watt andava moltiplicato per il tempo necessario a percorrere lo spazio tra gli specchi... Cmq passando al limite la mia espressione per l'intensità troviamo:




Ora per trovare l'energia dobbiamo considerare che ogni componente di questi ha messo per percorrere la distanza tra gli specchi e che questo risulta come un valore k (chi si rivede...) per cui viene moltiplicata la mia espressione. Ergo, per i teoremi sui limiti:



E facendo i conti otteniamo appunto che corrisponde al valore trovato da te