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Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 7 giu 2009, 0:38

L'accelerazione del marmo in un certo fluido è proporzionale alla sua velocità al quadrato ed è dato, $a=-3v^2$ per v>0. Se il marmo entra nel fluido con una velocità di $v=1,5m/s$ , quanto spazio percorrerà prima che la velocità raggiunga il valore di $v/2$ ?

Io ci ho provato a risolverlo ma sul libro la soluzione manca, quindi non so se il mio risultato è giusto. Voi come lo risolvereste?

pascal · Messaggio da **pascal** » 7 giu 2009, 8:45

Se l’accelerazione totale è $a=-kv^2$ basta moltiplicare per dt:

$dv=-k \ v \ ds$ ,

$dv/v=-k \ ds$ che integrata fornisce

$s=\frac{1}{k} \ln \frac {v_0}{v}.$

Lo spazio è $s = (\ln 2)/k=0,23 m.$

La traccia, indicando un’accelerazione totale, esclude l’apporto del peso; per esempio, il moto potrebbe svolgersi su un piano orizzontale.
Qualora si voglia includere l’effetto del peso, si potrebbe applicare un procedimento lievemente diverso.

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 7 giu 2009, 13:10

Io ho proceduto in modo diverso:
Dato che l'accelerazione è funzione del quadrato della velocità, ho cosiderato la velocità come variabile indipendente e l'accelerazione quella dipendente, quindi se le rappresento in un grafico ho una parabola. Mi ricavo da essa, tramite un integrazione il valore medio dell'accelerazione, che mi risulta uguale $3,94 m/s^2$ quindi:
$V(f)=v(i)+at$
$t=(0,75-1,5)/3,94$
$t=0,19 s$
quindi $s=v(i)t-1/2 a t^2= 0.214$ m

cosa ne pensi?

pascal · Messaggio da **pascal** » 7 giu 2009, 15:39

Da

$\int_{v_i}^{v_f} a\, dv=\int_{v_i}^{v_f} -kv^2\, dv$ ,

hai calcolato il valore medio dell’accelerazione

$A_m= \frac{\int_{v_i}^{v_f} -kv^2\, dv}{\Delta v}.$

Questa è un’operazione lecita.

Ma $A_m$ appare diversa da

$a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}.$

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 7 giu 2009, 20:27

Ok, se le due accelerazioni fossero diverse, quale interpretazione fisica si dovrebbe dare all'accelerazione che ho ricavato io?

Credevo che se immaginassi l'accelerazione costante nell'unità di tempo avrei potuto evitare di derivare nella formula finale..

pascal · Messaggio da **pascal** » 7 giu 2009, 23:13

L’area sottesa dal diagramma a(v) tra $v_i$ e $v_f$ rapportata alla variazione di velocità complessiva. Oppure la somma (integrale) delle accelerazioni pesate con i rapporti tra le variazioni di velocità infinitesime e totale. Poiché $a dv = a^2 dt$ , si ottiene $A_m$ come rapporto dell’area individuata dal grafico $a^2(t)$ tra gli istanti iniziale e finale e la variazione di velocità totale.

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 8 giu 2009, 13:17

pascal ha scritto:
Lo spazio è $s = (\ln 2)/k=0,23 m.$

Adesso che ci guardo meglio, è impossibile che ti possa venire fuori 0,23 m, xkè la tua divisione non porta ad una grandezza ma ad un numero puro!

pascal · Messaggio da **pascal** » 8 giu 2009, 14:29

Perché 1/ k non ha la dimensione di una lunghezza?

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 8 giu 2009, 23:58

No, quello che tu hai posto come k, il problema lo associa ad un numero puro, infatti $a=-3v^2$
Ho provato in tutti i modi, ma nel libro dà un risultato in cui il tempo impiegato è di $0,222 s$ .

pascal · Messaggio da **pascal** » 9 giu 2009, 8:08

Errore del libro, perché se a -3 non viene associata un’unità di misura l’equazione scritta è scorretta nella dimensione. E’ pur vero che a volte, per non appesantire il discorso, nelle equazioni che contengono numeri e lettere si omettono le unità di misura dei numeri. Ma in questo caso le unità di misura sono sottintese. Ora non ho tempo, perché devo andare a scuola, ma si può dimostrare che t=0,222 s deriva proprio dall’equazione del moto.

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