Proiettile tra pianeti

[Rigel]

OK a me viene lo stesso risultato.
Per farlo col potenziale usa la conservazione dell'energia. Per non fare confusione coi segni, forse è meglio se indichi la massa dei pianeti con , dove è un valore positivo.

[CoNVeRGe.]

In questo caso l'equilibrio è stabile, a differenza che nel caso di masse "positive", in cui è instabile. Trovare il periodo delle piccole oscillazioni del proiettile attorno alla sua posizione di equilibrio.

Se non specifichi che è vincolato a muoversi sul segmento che congiunge i pianeti l'equilibrio non è affatto stabile, il proiettile con poco partirebbe via per l'asse del segmento.

[pascal]

Per lo spostamento di x lungo la congiungente i centri di forza (problema di Rigel e ipotesi di CoNVeRGe), partendo dal suo punto medio O, si ottiene la variazione di energia potenziale (n=costante):

essendo

Poiché la forza è orientata verso O e produce un’energia del tipo elastico, si avranno delle oscillazioni con periodo:



Chi si vuole divertire può ricavare direttamente il risultato, risolvendo l’equazione differenziale che si desume dalla conservazione dell’energia.

Adesso ritorno al mio intenso lavoro di fine anno scolastico.

[Rigel]

In questo caso l'equilibrio è stabile, a differenza che nel caso di masse "positive", in cui è instabile. Trovare il periodo delle piccole oscillazioni del proiettile attorno alla sua posizione di equilibrio.

Se non specifichi che è vincolato a muoversi sul segmento che congiunge i pianeti l'equilibrio non è affatto stabile, il proiettile con poco partirebbe via per l'asse del segmento.

Ovviamente era quello che intendevo... scusate . Lo sapevo che mancava qualcosa...

[CoNVeRGe.]

Era importante perchè solo così si giustifica quanto hai detto, ovvero l'instabilità della situazione con masse "positive".
Infatti le due situazioni (positive o negative) hanno entrambe una "direzione di stabilità", però l'una ortogonale all'altra.

[pascal]

Allora perché non esaminare il moto vincolato, con piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, di una massa lungo l’asse della congiungente dei due centri dei pianeti, che esplicano forze attrattive? E’ ancora armonico? Ha periodo diverso dal precedente?

[CoNVeRGe.]

Era importante perchè solo così si giustifica quanto hai detto, ovvero l'instabilità della situazione con masse "positive".
Infatti le due situazioni (positive o negative) hanno entrambe una "direzione di stabilità", però l'una ortogonale all'altra.

Mi correggo: mentre con le masse negative si ha solo una "direzione di stabilità", nel caso di masse positive esiste un "piano di stabilità" quindi infinite "direzioni di stabilità".
Questo piano biseca perpendicolarmente il segmento che congiunge i due pianeti. Si possono quindi ottenere dei moti particolari su tale piano ma ad esempio anche moti circolari attorno al punto medio del segmento. Dunque sono possibili moti armonici a qualsiasi distanza dal segmento.

"Bidimensionando" il problema si fissa un asse che ha per origine il punto medio del segmento.
Per un proiettile di massa a distanza dall'origine agiscono due forze tali che:



è la distanza dai pianeti di massa .

La risultante delle forze costituisce il richiamo verso il centro ed è:




Supponendo ora piccole oscillazioni sull'asse del segmento si trascura il termine e quindi si ha:



con



Poichè il coefficiente è la metà di quello trovato da pascal, si ha che il periodo è volte maggiore.

[pascal]

Ho ottenuto lo stesso T.
Esaminando le equazioni traspare che questi moti circolari soddisfano ad una relazione
analoga alla terza legge di Keplero.

[pascal]

Il moto circolare uniforme in oggetto imposto dalla forza centripeta costante , in cui r è la distanza tra M ed m e è il raggio, proiettato su un diametro della circonferenza di qualsiasi , è certamente armonico.
Invece il moto vibratorio, su un asse della congiungente i centri dei pianeti, è armonico soltanto per oscillazioni di piccola ampiezza. E’ in quest’ipotesi, infatti, che nel movimento si può reputare costante.

[CoNVeRGe.]

Questo problema di Rigel ricorda tanto questo della Normale del '94, che è leggermente più complesso ma anche più interessante:

"Si consideri il sistema di tre cariche puntiformi, allineate e a distanza come in figura, in assenza di gravità.

Le cariche 1 e 3 (ciascuna pari a ) sono fisse, mentre la carica 2 (pari a ) è fissata a due supporti mediante due fili di lunghezza e tensione .
La carica 2 viene spostata verso una delle due cariche fisse di un tratto .

(1) Ricavare l'espressione della forza agente sulla carica 2.
(2) Descrivere il moto della carica 2.
(3) Discutere l'effetto di valori crescenti di "