Proiettile tra pianeti

[CoNVeRGe.]

In primo luogo non credo ci sia nulla di male a prendere spunto dai libri su cui si studia .

No, assolutamente! Non so mai spiegarmi.. Volevo dire che il problema si risolve con una sola conservazione e quindi sarebbe interessante ''perdere tempo'' nell'elaborare una spiegazione convincente che escluda gli altri casi e spieghi chiaramente cosa si fa.
Magari il libro neanche lo spiega e quindi la mia affermazione è stata piuttosto inutile.. insomma mi mangio quel che ho detto.

il testo del problema dice:" da un pianeta all'altro"; quindi mi pongo sulla suprficie di uno e qui l'energia potenziale è data dalla somma di quella dal centro del pianeta su cui ci si trova e di quella dal centro dell'altro pianeta.

Nella soluzione ti sei posto sul punto più vicino all'altro pianeta senza spiegarlo. Io ti ho detto "spiega.." per benessere tuo/ditutti/delforum, poi ovviamente se non hai minima voglia di farlo o non lo trovi interessante: tranquillo, basta non rispondere.

[Solimano]

No no, hai ragione! é che via internet non si sa mai se si skerza o no!

[CoNVeRGe.]

Intendevo qualcosa di simile:

Sia l'asse del segmento che congiunge i due centri.
Si consideri il pianeta da dove vogliamo sparare il proiettile nel semispazio delimitato da che lo contiene.
Per ogni spostamento (di un corpo) radiale con verso uscente dal centro l'energia potenziale aumenta; questo perchè la distanza dal primo pianeta è sempre minore della distanza dal secondo e quindi .
Allora in ogni direzione incontriamo una 'salita' perchè vi abbiamo potenziale gravitazionale crescente.

La situazione è simmetrica rispetto a , dunque se il proiettile supera si troverà in 'discesa', ovvero potrà precipitare liberamente sull'altro pianeta.

Quindi se il proiettile raggiunge anche con un infinitesimo di velocità, esso cadrà sull'altro pianeta.

Ora basta individuare il punto di con minor potenziale e il punto della superficie del pianeta di lancio con maggior potenziale gravitazionale.

Il primo sta proprio sul segmento che unisce i due centri.

Il secondo sta sulla retta che contiene ma è sul punto più lontano dal pianeta dove si vuole spedire il proiettile.

In formule:



Da cui:




Ora però contraddico il libro. Probabilmente perchè non esiste una traiettoria che non tocchi il pianeta di lancio. Questo però non saprei dimostrarlo, il libro dovrebbe dire qualcosa a riguardo.

[Alex90]

Non capisco perchè vuoi farlo arrivare sul punto più lontano

[CoNVeRGe.]

Ora basta individuare il punto di con minor potenziale e il punto della superficie del pianeta di lancio con maggior potenziale gravitazionale.

Scelgo il punto a maggior potenziale di modo che la differenza di potenziale tra il punto da cui si vuol far partire il proiettile e il punto in cui si vuole farlo arrivare (il punto P) sia minima.


Ma la soluzione qualè?
Riflettendoci non può comunque essere quella di Solimano perchè basta prendere un punto di lancio vicino a quello che ha individuato e si avrebbe una traiettoria possibilissima e una velocità minima minore.

[Falco5x]

Ora basta individuare il punto di con minor potenziale e il punto della superficie del pianeta di lancio con maggior potenziale gravitazionale.

Scelgo il punto a maggior potenziale di modo che la differenza di potenziale tra il punto da cui si vuol far partire il proiettile e il punto in cui si vuole farlo arrivare (il punto P) sia minima.


Ma la soluzione qualè?
Riflettendoci non può comunque essere quella di Solimano perchè basta prendere un punto di lancio vicino a quello che ha individuato e si avrebbe una traiettoria possibilissima e una velocità minima minore.

E' giusto quello che dici però ho paura che qua andiamo sul difficile, e mi spiego (non ci ho pensato più di tanto, per cui faccio delle considerazioni solo qualitative).
Pensa di essere sul pianeta di lancio nel punto opposto rispetto al quale si trova l'altro pianeta. Se tu lanci il proiettile con una velocità così bassa come quella che hai calcolato cioè , e per ipotesi semplificativa supponiamo che il lancio sia orizzontale, cioè tangente al pianeta, succede che il proiettile probabilmente raggiunge il segmento di congiungimento tra i due pianeti, ma più vicino al pianeta di lancio che all'altro perché raggiunge il segmento con una velocità non nulla, e poi si comporta in modo che mi è difficile immaginare, ma penso ricada sul pianeta di lancio. A mio parere non è possibile però che lo scrivente del problema intendesse far calcolare tutto ciò, probabilmente Solimano ha dato la risposta che quello si aspettava.
Se non ho sbagliato alcuni velocissimi conti mi pare che se il proiettile viene lanciato orizzontalmente con la velocità calcolata da Solimano però partendo dal punto che dicevi tu e quindi opposto al suo, fa un'orbita circolare attorno ai due pianeti (che in questo caso si comportano come un unico pianeta di massa 2M situato sul loro baricentro) toccando il pianeta bersaglio esattamente dalla parte opposta. Dunque una soluzione che preveda velocità minore di quella calcolata da Solimano direi che deve esistere.
Supponiamo dunque di riuscire a calcolare questa velocità minima partendo dal punto opposto del pianeta di lancio; se però pretendiamo una soluzione di minimo assoluto, chi può escludere che esista un punto diverso partendo dal quale la velocità di lancio potrebbe essere addirittura minore di quest'ultima? Bella domanda davvero!

[CoNVeRGe.]

[...] in questo caso si comportano come un unico pianeta di massa 2M situato sul loro baricentro [...]

Sei sicuro? Non mi pare che si possa fare.. Ad esempio se prendi un punto tra i pianeti esso tenderà a cadere su uno, non sul baricentro.
Per questo motivo credo anche che non sia (facilmente) possibile studiare il moto del proiettile.

Penso inoltre che la mia soluzione sia valida solo se fosse possibile perforare il pianeta, infatti se il proiettile deve arrivare con velocità nulla nel punto medio del segmento, la traiettoria deve essere meno aperta possibile, ovvero deve tracciare un segmento.

Probabilmente la risposta è quella di Solimano, però si devono per forza escludere tutti gli altri casi.. magari c'è una considerazione da fare. Non saprei.

[Falco5x]

[...] in questo caso si comportano come un unico pianeta di massa 2M situato sul loro baricentro [...]

Sei sicuro? Non mi pare che si possa fare.. Ad esempio se prendi un punto tra i pianeti esso tenderà a cadere su uno, non sul baricentro.
Per questo motivo credo anche che non sia (facilmente) possibile studiare il moto del proiettile.

Certo, è vero, il mio è un discorso (largamente) approssimato (sarebbe vero a grande distanza da entrambe le masse) che mi porta però a pensare che probabilmente una soluzione con velocità minore di quella calcolata da Solimano può esistere.

Se avessi voglia di sbattermi un po' (tanto) dovrei: installare Mathematica sul mio PC (dovrei averlo da qualche parte), ricordare come si usa (fatica maggiore), e fargli disegnare varie orbite. Ma al momento ho altro da fare (solita scusa?... mah... diciamo allora che non ne ho voglia... anche se potrebbe essere interessante... ).

[Rigel]

Forse non è il posto più adatto per parlarne, ma visto che ci sono di mezzo i pianeti, scrivo un problemino che ho inventato io.
Immaginiamo i pianeti con le dimensioni e la disposizione descritta nel problema originale, ma con massa "negativa", cioè una massa che esercita su una massa "positiva" (cioè normale) una forza gravitazionale repulsiva e non attrattiva (un pò come due cariche dello stesso segno). immaginiamo che il proiettile sia di massa "positiva" e si trovi nel punto di equilibrio trovato sopra. In questo caso l'equilibrio è stabile, a differenza che nel caso di masse "positive", in cui è instabile. Trovare il periodo delle piccole oscillazioni del proiettile attorno alla sua posizione di equilibrio.

[Solimano]

Prima di tutto, il problema è veramente interessante!
Ho provato a risolverlo così: il corpo risente della forza di entrambi i pianeti, quindi l'equazione della forza totale è

con , posizione d'equilibrio.

poichè le oscillazioni sono piccole, ho .
facendo i conti mi viene







e inserendo , ho

.

Infine, il periodo delle piccole oscillazioni è:



A me sembra più o meno giusto, però provate a guardarlo per essere(io e voi ) sicuro!!!!
Un' altra domanda: come si può risolvere usando il potenziale???