traiettoria di un pendolo ...

[stefano mazzei]

scusatemi avrei un dubbio che spero possiate levarmi...


ammettiamo che io abbia una pallina attaccata a un filo di lunghezza l (un pendolo, via...)
ammettiamo che io la discosti, sempre lasciandola in tensione, di un certo angolo (abbastanza piccolo perché valga omega=(g/l)^1/2);

se la direzione del filo a riposo era la stessa dell'asse y, e la pallina aveva una velocità iniziale con componente x e y nulle, trascurando lo smorzamento dovuto a forze di attrito, è legittimo aspettarsi che la traiettoria sul piano xz sia data da equazioni del tipo:

(vedi figura , scusatemi la novellinaggine ma non ho idea di come si faccia a digitare le formule) ????



quanto meno, questa era la conclusione alla quale ero giunto, supponendo che, in assenza di gravità, una situazione di questo genere porterebbe a un moto circolare uniforme; considerando invece la forza di gravità introdurrei un'ulteriore forza centripeta diretta verso l'origine degli assi del piano xz.




in pratica, scusatemi il gioco di parole (se non altro quello lo faccio consapevolmente), quello che verrebbe fuori dalla mia previsione sarebbe una circonferenza a "raggio variabile nel tempo" il che mi comporterebbe un altrettanto variabile nel tempo velocità angolare.

vi pare un ipotesi plausibile???

grazie anticipatamente per pareri e consigli!!!

[Ippo]

Non ho capito esattamente il tuo ragionamento ma per la tua soluzione vale

che ha la sgradevole proprietà di annullarsi ogni tanto, con l'effetto collaterale che per conservare il momento angolare questa povera pallina dovrebbe andare davvero forte. Quindi devi esserti sbagliato da qualche parte
Per non demoralizzarti, bisogna dire che non è proprio un problema elementare.

[Ippo]

(vedi figura , scusatemi la novellinaggine ma non ho idea di come si faccia a digitare le formule) ????

Clicca sul pulsante "tex" e scrivi tra i tag il codice della formula che vuoi compaia; per imparare come si usa il LaTeX lascia la freccia del mouse sopra le formule scritte dagli altri e ti apparirà il codice che le ha prodotte. Vedendone un po' dovresti capire come si fa.
Per le cose impegnative cerca qualche guida su internet

[stefano mazzei]

Ma io non potrei pensare che effettivamente in teoria la pallina dovrebbe avere velocità infinita quando passa per il centro, e che questo non succede per dettagli pratici (in questa sede volutamente trascurati) tipo forze d'attrito???

Del resto quando io faccio i girellini sulla sedia e tiro le braccia vicino al corpo accelero,però siccome non sono rettilineo ho comunque una velocità finita.
Vale come paragone??



In ogni caso, c'è mica qualche previsione alternativa???

[Ippo]

Non è solo una questione di impossibilità pratica, è che non si conserva l'energia (la palla parte da ferma ad altezza finita e ad un certo punto l'energia cinetica tende ad infinito: qualcosa non va).

Il problema (detto del pendolo sferico) si risolve in generale solo con strumenti di meccanica analitica.
Per angoli piccoli ci si riconduce ad un problema del tipo
con condizione iniziale
se non ho capito male.
Questo si può risolvere anche in modo abbastanza elementare osservando che scrivendo le cose in coordinate si tratta di risolvere i due seguenti problemi separatamente:

1) con condizioni iniziali e ;

2) con condizioni iniziali e .

Questi non sono altro che due pendoli uguali, uno che parte da fermo spostato di una certa distanza iniziale, l'altro che parte dal fondo con una certa velocità iniziale fissata. Le soluzioni compatibili con le condizioni iniziali sono

che rappresentano una traiettoria ellittica di semiassi e
(per comodità ho scritto al posto di ). Per una velocità iniziale opportuna, , si ha il caso di orbita circolare.

Vale in generale che le orbite in un potenziale "elastico" o armonico (come è quello del pendolo nel limite di spostamenti piccoli) sono ellissi col centro di forza all'incrocio degli assi (mentre le orbite in un potenziale kepleriano sono sempre ellissi, ma col centro di forza in uno dei fuochi).

[stefano mazzei]

grazie... effettivamente queste soluzioni mi fanno estremamente comodo, perché volevo appunto dimostrare che lasciando un bidone di vernice

se non è troppo posso chiederti secondo te concettualmente dove avevo toppato??



e sempre se non è troppo, esiste un caso in cui le due pulsazioni risultano differenti...??


vedi il fatto è che stavo cercando di modellizzare il disegno fatto da un bidone di vernice forato lasciato penzolare, che è lungi (aihmè) dall'essere un ellisse (anche considerando l'eventuale smorzamento).

[stefano mazzei]

ma poi scusa mi è venuto un dubbio:


(1) prendo un supporto ruotante, per esempio un disco di legno di raggio R, che ruota attorno al proprio asse.
(2) al bordo di questo fisso una molla di lunghezza a riposo R.
(3) alla molla fisso un blocco di massa M, e stiro la suddetta molla fino a che non raggiunga una lunghezza di 2R, (cioè le faccio coprire tutto il diametro del disco)



al momento in cui rilascio il blocco, supponendo che questo sia libero di scorrere senza attrito sulla superficie del disco, non dovrei ottenere una traiettoria del blocco M esattamente analoga a quella del caso del pendolo??


eppure è ragionevole pensare che il blocco passerà per il centro, senza per questo acquistare velocità infinita. O sbaglio??

[Ippo]

al momento in cui rilascio il blocco, supponendo che questo sia libero di scorrere senza attrito sulla superficie del disco, non dovrei ottenere una traiettoria del blocco M esattamente analoga a quella del caso del pendolo??

se questo parte con la velocità angolare del disco sotto di lui sì (quel "senza attrito" potrebbe significare che il blocco non si accorge del supporto rotante; in quel caso ovviamente i moti sono indipendendi e non vale l'analogia col pendolo).

eppure è ragionevole pensare che il blocco passerà per il centro, senza per questo acquistare velocità infinita.

Sì, è ragionevole pensarlo ma è sbagliato
Senza scomodare il blocco e restando al pendolo, puoi metterti nel riferimento rotante attorno alla verticale per il perno in cui all'istante iniziale il pendolo ti appare fermo (deve essere nella notazione che ho usato prima). Anche lì potrebbe sembrare che il pendolo sia destinato a ripassare per l'origine come ogni buon pendolo che parte da fermo.
Il punto è che il tuo sistema di riferimento non è inerziale, quindi stai trascurando le forze inerziali (centrifuga e di Coriolis). Se le consideri vedrai che i conti tornano.