In accordo con le tematiche ambientali recentemente tornate alla ribalta della cronaca, propongo un problema non troppo complesso ma con risultati davvero importanti.
E' noto che l'inizio della stagione climatica "percepita" è sfasato rispetto al suo inizio astronomico e si vuole creare un modello semplice che descriva in linea di massima quanto la Terra è veloce a reagire alla variazione di energia ricevuta dal Sole.
La "nostra" stella emette energia dando alla Terra un'intensità di calore che segue l'andamento
con , fattore correttivo per smorzare la variazione di irraggiamento, .
Si ricordi che la potenza emessa in funzione della temperatura è secondo la legge di Boltzmann e si usino i seguenti dati:
-capacità termica della Terra:
-temperatura della Terra in funzione del tempo: con .
Ricavare la funzione e trovare lo sfasamento , che indica quanto ci mette il pianeta a raggiungere un picco di temperatura dopo un massimo dell'emissione solare. (In realtà vale più in generale, è solo un esempio dell'utilità di ).
PS: è utile ricordare che .
Le stagioni di una volta...
Le stagioni di una volta...
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Le stagioni di una volta...
Più che altro direi che è inutile introdurre la notazione complessa, facciamo direttamenteStardust ha scritto:PS: è utile ricordare che .
Problema interessante comunque!
Re: Le stagioni di una volta...
Ok, era solo per usare qualcosa di più particolare (e poi per le equazioni differenziali sono decisamente più comodi gli esponenziali ).Ippo ha scritto:Più che altro direi che è inutile introdurre la notazione complessa, facciamo direttamenteStardust ha scritto:PS: è utile ricordare che .
Problema interessante comunque!
@spn: alla fonte ci pensa la Fisica
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Le stagioni di una volta...
Metto la soluzione di questo problema sia perché è carino sia perché usa un metodo interessante.
Il bilancio dell’energia ci dice che , dove è la costante di Stefan-Boltzman.
Supponiamo di essere in condizioni stazionarie, cioè con . Allora e quindi .
Ora siccome , possiamo supporre che il termine dipendente dal tempo nella temperatura sia piccolo rispetto a . Quindi possiamo approssimare al primo ordine , dove è della forma . Questa tecnica si chiama metodo perturbativo: non sapendo risolvere esattamente l’equazione differenziale che abbiamo, la risolviamo in un caso semplice e ci aggiungiamo dei termini correttivi. Quello che vogliamo trovare noi è . Andando a sostituire si trova . Sviluppando seni e coseni e imponendo che l’equazione valga per ogni t, si trova e usando i valori corretti e , si ha , che corrisponde ad un ritardo di circa 52 giorni, cioè poco più di un mese e mezzo.
Volendo potete provare a stimare , cioè l’ampiezza dell’oscillazione della temperatura nel corso dell’anno. Per fare questo serve stimare . Un valore ragionevole è che sia pari a , cioè il seno dell’angolo di inclinazione dell’equatore rispetto all’orbita terrestre.
Il bilancio dell’energia ci dice che , dove è la costante di Stefan-Boltzman.
Supponiamo di essere in condizioni stazionarie, cioè con . Allora e quindi .
Ora siccome , possiamo supporre che il termine dipendente dal tempo nella temperatura sia piccolo rispetto a . Quindi possiamo approssimare al primo ordine , dove è della forma . Questa tecnica si chiama metodo perturbativo: non sapendo risolvere esattamente l’equazione differenziale che abbiamo, la risolviamo in un caso semplice e ci aggiungiamo dei termini correttivi. Quello che vogliamo trovare noi è . Andando a sostituire si trova . Sviluppando seni e coseni e imponendo che l’equazione valga per ogni t, si trova e usando i valori corretti e , si ha , che corrisponde ad un ritardo di circa 52 giorni, cioè poco più di un mese e mezzo.
Volendo potete provare a stimare , cioè l’ampiezza dell’oscillazione della temperatura nel corso dell’anno. Per fare questo serve stimare . Un valore ragionevole è che sia pari a , cioè il seno dell’angolo di inclinazione dell’equatore rispetto all’orbita terrestre.