Tetraedro di resistenze in campo magnetico esterno

[Ippo]

Siano dati sei fili rettilinei di lunghezza e resistenza disposti come gli spigoli di un tetraedro regolare.
Se nello spazio è presente un campo magnetico di direzione (costante) ortogonale ad una delle facce, e modulo variabile nel tempo secondo la legge ( e costanti note), dire quanto vale la corrente in ciascuno dei sei fili.

[egl]

Ci provo ma non sono sicuro della soluzione.

Siccome conosco come varia nel tempo e le aree in gioco non cambiano mi calcolo . Il campo magnetico incide perpendicolarmente ad una faccia: per la legge di Faraday avrò che la fem indotta su questa faccia (trascuro i segni) è . Poichè poi mi interessa solo la componente perpendicolare del campo magnetico alle altre facce (dalla definizione di flusso magnetico) posso anche proiettare le altre facce sulla prima: avrò che ciascuna altra faccia ha componente utile pari (per simmetria) a . Sulle altre tre facce avrò allore che la fem indotta è . Dire che su una maglia è indotta una fem non equivale a mettere sul quella maglia una batteria di uguale fem perchè allora la corrente che scorrerà in ogni ramo dipende da dove metto la batteria nella maglia. Allora sostituisco nella maglia tante batterie quanti sono i tratti separati da un salto di potenziale (resistenza) di fem pari alla fem indotta diviso quanti sono i salti di potenziale (spero di averci preso). Grazie alla legge di Lenz calcolo i versi delle correnti: alla fine mi risulta che la corrente nei tre rami dietro la prima faccia è zero mentre sulla faccia dove il campo incide perpendicolarmente avrò



Edit: corretto un fattore sbagliato. In effetti tutte le complicazioni sulle batterie non servono

[Pigkappa]

alla fine mi risulta che la corrente nei tre rami dietro la prima faccia è zero

Visto che hai messo la faccina shockata...

Domanda bonus) Dimostrare che quella corrente è 0 senza fare il conto.

[egl]

Considero la proiezione degli altri lati sulla prima faccia. Su ogni maglia il campo magnetico aumenta (conosco come varia nel tempo); per la legge di Lenz in ogni maglia avrò una corrente che scorre in modo tale da opporsi alla variazione di flusso; sovrapponendo le correnti nei rami comuni a due maglie la corrente si annulla.

Boh, comunque sono veramente poco convinto della soluzione al problema originale; se faccio un pò di prove vedo che la corrente in ogni ramo cambia anche rispetto a come metto la batteria con la frazione di fem indotta. Per cui mi domando se sia una coincidenza che sia venuto .
Esiste per caso una regola che dice come comportarsi in un circuito a più maglie dove campi magnetici variano nel tempo? (magari anche diversamente l'uno dall'altro?). La sovrapposizione delle correnti (che ho usato per la domanda bonus) mi convince poco... Boh, ditemi voi.

[Ippo]

Non ti seguo quando ti fai tutti quei problemi sul dove mettere le batterie; in ogni caso la soluzione è giusta
L'unica regola in questi casi è la legge di Faraday. Sai che la circuitazione del campo elettrico sulla faccia di base è tot (senza scomodare batterie e simili), sai che la corrente in ciascun lato di base è la stessa per simmetria (perché mai dovrebbe essercene di più in un lato che in un altro, dato che sono tutti lo stesso a meno di ruotare il nostro punto di vista di 120°?), allora sai che 3IR=tot, fine. A questo punto Kirkhoff non dovrebbe lasciarti dubbi sulla correttezza del risultato nullo per gli altri tre lati.

[Pigkappa]

Esiste per caso una regola che dice come comportarsi in un circuito a più maglie dove campi magnetici variano nel tempo? (magari anche diversamente l'uno dall'altro?). La sovrapposizione delle correnti (che ho usato per la domanda bonus) mi convince poco... Boh, ditemi voi.

Anche a me la sovrapposizione delle correnti non sembra molto convincente. Il fatto che quelle correnti sono 0 deve c'entrare in qualche modo con la legge di Kirchoff per cui non può entrare una corrente netta nel vertice superiore.

La soluzione in cui hai distribuito le batterie secondo me funziona perchè ci sono abbastanza simmetrie per farla funzionare, ma se il tetraedro fosse irregolare non funzionerebbe (più che altro, non sapresti come metterle...).

La "regola" che cerchi sono le leggi di Kirchoff: assegni una corrente ad ogni ramo del circuito e scrivi le leggi delle maglie (usando la legge di Faraday) e che la somma delle correnti che arrivano in ogni vertice è 0.