SNS n.5,2023

[Higgs]

(Data la lunghezza e la discutibile chiarezza (ti pareva..) del testo dell'ultimo problema SNS 2023 ritengo opportuno postarlo mentre la discussione sul n.4 può continuare)

Consideriamo che la forza di resistenza fluidodinamica di intensità che si contrappone al movimento a velocità V di una sfera(di raggio R, omogenea, di densità) all'interno di un fluido incomprimibile(di densità e che possiamo considerare contenuto in un tubo di raggio A>>R) valga (*)

a) Consideriamo un esperimento in cui il fluido sia contenuto nel tubo posto in verticale e chiuso inferiormente, e la sfera venga posizionata all'interno del tubo a varie distanze sotto la superficie superiore del liquido e libera di muoversi. La sfera lasciata libera nel liquido risale fino alla superficie superiore; all'equilibrio galleggia lasciando una calotta sferica fuori dal liquido

distanze (cm) tempi (s)
100 1,77
200 2,85
300 3,87
400 4,86
500 5,87
(Edit: Non riesco a spaziarli comunque la prima cifra senza decimali si riferisce alle distanze e la seconda con due decimali ai tempi)
La tabella sopra riporta i tempi di risalita misurati con una precisione del centesimo di secondo (tempi) in funzione della distanza sotto la superficie del liquido a cui viene lasciata la sfera (distanze). L'incertezza sulle distanze percorse si può considerare di un centimetro.
I dati conosciuti sono i seguenti: ; volume della sfera ; volume della calotta fuori dal fluido pari a ; per svolgere i calcoli, considerare l'accelerazione di gravità g= 10m/s^2 senza incertezza.
Determinare con un incertezza relativa di ( o al più di poco migliore).

b) Consideriamo ora la situazione in cui una riserva del fluido sia contenuta in un recipiente-serbatoio posto in alto di sezione molto maggiore di quella del tubo considerato che ne esce verticalmente verso il basso proseguendo poi orizzontalmente per lo scarico con una uscita circolare di raggio a<A (trascurare le differenze di pressione atmosferica). Sia al solito g l'accelerazione di gravità e h l'altezza del fondo del serbatoio rispetto al foro di uscita a.
Scrivere l'espressione per la velocità v in uscita dal foro di raggio a nelle due ipotesi in cui ci sia o non ci sia la sfera sopra descritta mantenuta ferma all'interno del tubo. Trascurare l'interazione del fluido con le pareti del tubo, altre forze all'interno del fluido ( a parte quelle già considerate nell'equazione (*) sopra) e variazioni di temperatura. Spiegare qualitativamente da dove deriva la differenza di velocità nei due casi.

[Higgs]

La situazione finale di equilibrio permette di trovare la densità della sfera. Infatti in questa situazione due delle tre forze si equilibrano essendo . Ovvero se è il volume immerso della sfera, la spinta S che subisce da parte del fluido sarà mentre il peso P della sfera risulta Pertanto sarà nulla la differenza S-P ovvero da cui segue La massa della sfera risulta allora mentre il peso P della sfera è . La differenza S-P durante il moto sarà allora .
Ora la velocità può essere dedotta dalla legge di Newton applicata alla sfera che si muove verso l'alto
equazione del primo ordine non omogenea. Ho letto che si trova la soluzione aggiungendo ad una soluzione dell'equazione non omogenea quella generale dell'equazione omogenea. La prima può essere mentre l'omogenea è a variabili separabili. In conclusione mi verrebbe
E qui non so andare avanti perché non riesco a collegare questa V con quella deducibile dalla tabella. Da quest'ultima emergono valori di V compresi fra 56,49 cm/s e 85,17 cm/s. Bisogna trovare il valor medio e poi ? Fra l'altro dovrebbe succedere che quando uguaglia S-P il moto è uniforme come nel paracadute. Come si collega con le misure?
PS Mi prendo la sosta di Natale come tutti, penso...

[Pigkappa]

Mi spieghi da dove viene quel ? Ho il brutto presentimento che tu abbia sommato gli errori assoluti a numeratore e denominatore...

Mi spiego meglio. Se si deve sviluppare si puo' fare questo:

Dove si sono sommati gli errori relativi.

Se non sbaglio nel tuo caso si trova

[Pigkappa]

Per andare avanti, partendo da questa:

equazione del primo ordine non omogenea

E' vero che si possono risolvere queste equazioni trovando le soluzioni della omogenea e una soluzione della non omogenea, e procedere cosi', ma secondo me e' piu' facile imparare prima il metodo per le equazioni a variabili separabili, che qua si applica.

Spostando i termini nell'equazione e trattando i differenziali tipo come se fossero semplici variabili:


Integrando dal tempo 0 a tempo T:

Da cui, se non sbaglio i conti a mente,
Da cui
Il risultato ha senso: se vale e che va bene perche' in tal caso abbiamo accelerazione costante perche' non c'e' forza di resistenza.

Avrei forse dovuto usare il simbolo invece di . Abbiamo ricavato la velocita' in funzione del tempo e possiamo usare che che e' un'altra equazione differenziale a variabili separabili che possiamo risolvere, e poi potremo usare i dati della tabella...

[Pigkappa]

Comunque, forse si puo' evitare di fare il conto che dico qua sopra perche' guardando i dati in tabella sembra chiaro che dopo i 200 centrimetri si e' gia' raggiunta quasi perfettamente la velocita' limite, perche' in ogni caso si fanno 100 cm in piu' in quasi esattamente un secondo in piu'. Quindi si puo' stimare bene la velocita' limite, e sappiamo dalle formule qua sopra che questa e' ...

[Tarapìa Tapioco]

Spostando i termini nell'equazione e trattando i differenziali tipo come se fossero semplici variabili:


Integrando dal tempo 0 a tempo T:

Da cui, se non sbaglio i conti a mente,
Da cui
Il risultato ha senso: se vale e che va bene perche' in tal caso abbiamo accelerazione costante perche' non c'e' forza di resistenza.

I calcoli sono tutti corretti.

Abbiamo ricavato la velocita' in funzione del tempo e possiamo usare che che e' un'altra equazione differenziale a variabili separabili che possiamo risolvere, e poi potremo usare i dati della tabella...

È davvero necessario risolvere l'equazione differenziale da te scritta? La velocità corrisponde alla pendenza del grafico delle distanze misurate rispetto ai tempi misurati e può essere calcolata analiticamente dai dati sperimentali attraverso vari metodi che coinvolgono la regressione lineare...

Comunque, forse si puo' evitare di fare il conto che dico qua sopra perche' guardando i dati in tabella sembra chiaro che dopo i 200 centrimetri si e' gia' raggiunta quasi perfettamente la velocita' limite, perche' in ogni caso si fanno 100 cm in piu' in quasi esattamente un secondo in piu'. Quindi si puo' stimare bene la velocita' limite, e sappiamo dalle formule qua sopra che questa e' ...

Esatto. Quando si lascia libera la sfera, questa accelera da ferma fino alla velocità limite (approssimativamente) molto rapidamente, in meno di un secondo: nonostante il grafico non passi per l'origine degli assi cartesiani, i punti corrispondenti alle comprese tra e formano una linea molto vicina ad una retta, pertanto la velocità assunta dalla sfera durante il tratto in questione è approssimativamente costante ed è molto vicina alla velocità limite.
L'equazione della velocità è , dove e . Integrando, si ottiene l'equazione della distanza in funzione del tempo:

.

L'esperimento misura distanze percorse e relativi tempi impiegati, pertanto l'equazione si applica direttamente alle misure sperimentali fornite.
L'equazione sopra indicata presenta tre termini: si osservi come ognuno di essi cambi al variare del tempo .
1) Il primo termine è e aumenta al crescere del tempo.
2) Il secondo termine è e diminuisce al crescere del tempo.
3) L'ultimo termine è la costante di integrazione , che non cambia nel tempo.

Pertanto, per tempi sufficientemente grandi, il secondo termine può essere ignorato in quanto è molto più piccolo degli altri due. L'equazione sopra indicata diventa quindi


e rappresenta l'equazione di una retta con pendenza e intercetta , approssimativamente corrispondente al grafico di rispetto a tracciato a partire dai dati sperimentali, in accordo al quale i tempi utilizzati nell'esperimento, da a secondi circa, sono abbastanza lunghi da rendere sufficientemente piccolo e trascurabile il termine esponenziale.

L'equazione della velocità si semplifica in:
,

da cui



Aggiungo, inoltre, che a mio giudizio l'esperimento è stato concepito in modo che il candidato si preoccupasse solo della velocità limite: il testo richiede una valutazione del coefficiente , legato alla velocità limite da , pertanto non è primario interesse determinare come cambi la velocità per piccoli istanti dopo il rilascio della sfera. La presenza del termine esponenziale, in aggiunta, renderebbe abbastanza complesso (almeno per un liceale) il calcolo di e dell'errore relativo in .

[Higgs]

@Pigkappa

1) Castroneria mia su . Il bello è che pensavo a una cosa e ne ho scritta un'altra. Comunque sono d'accordo: a me verrebbe
2) Per quanto riguarda invece la soluzione di V(t) trovo che la mia sia più immediata e veloce nel determinare la velocità limite. Infatti come dal mio primo post era che per trascurabile diventa subito senza le tue successive approssimazioni davvero proibitive per un liceale
3) il solito punto su cui non ho idee chiare. Ho fatto il grafico distanze tempo e chiedo: per determinare bisogna calcolare l'incertezza relativa e percentuale di S-P e addizionarla a quella relativa e percentuale di V(t)? Perchè si capisce che ma S-P mi viene dell'ordine di 50 milioni di dyne per cui viene molto grande mentre doveva essere trascurabile in modo da trascurare l'esponenziale... non ci sono proprio...

[Higgs]

In attesa della risposta ad a) vorrei provare anche con b). La differenza fra i due casi richiesti dal testo consiste nel fatto che in un caso (presenza di m) questo esercita sul fluido per la relatività del moto la forza opposta alla velocità del fluido e dopo c'é la differenza di portata A/a mentre nell'altro caso (assenza di m) c'é solo quest'ultima. Siccome nel serbatoio la velocità di efflusso è praticamente nulla, detta una massa di fluido e V la velocità acquisita al centro del condotto orizzontale, abbiamo ovvero
b1) caso senza m. In questo caso c'é solo la variazione della portata nel passaggio dal raggio del tubo A a quello dell'uscita a. Risulta da cui la velocità di uscita V', ovviamente maggiore per la continuità, risulta
b2) caso con m. In questo caso per la relatività del moto è come se m si muovesse contro la corrente del fluido essendo ostacolato da . Quindi l'equazione del moto rispetto ad un riferimento relativo solidale con il fluido appare Un'equazione a variabili separabili da integrare con V che va da aV e t che va da a t. Risulta abbastanza agevolmente dal quale valutando la portata A/a risulta

[Pigkappa]

come dal mio primo post era

Questa formula è sbagliata, per la velocità deve tendere ad una costante, non a 0. Guarda il risultato nel mio post sopra...

ma S-P mi viene dell'ordine di 50 milioni di dyne

Ma perché usi i dyne come unità di misura? Il sistema cgs non si usa quasi più, e quel poco che si usa è nel contesto dell'elettromagnetismo dove alcune formule vengono più semplici.

bisogna calcolare l'incertezza relativa [s]e percentuale[/s] di S-P e addizionarla a quella relativa e percentuale di V(t)?

Sì. Non serve dire "e percentuale", basta dire "relativa".

Questo conto io ancora non l'ho fatto e non so se venga una incertezza relativa simile a quella che chiede il testo. Se viene più grande, bisogna inventarsi qualcos'altro.

[Pigkappa]

Per quanto riguarda la parte b, il testo era proprio così o magari c'era una figura inclusa?

Sia l'altezza dal suolo del foro, l'altezza del punto in cui l'acqua passa da serbatoio e foro, e l'altezza della superficie superiore dell'acqua nel serbatoio. Io direi che la velocità di uscita dal foro si trova facilmente con Bernoulli applicato tra e e viene .

Ma, se ho capito bene il testo, non è dato, il che mi blocca su questo punto.

Nel caso in cui c'è la sfera, non si applica Bernoulli perché c'è dissipazione di energia per attrito quando il fluido passa vicino alla sfera, ma la potenza dissipata dovrebbe essere facile da calcolare...