Higgs ha scritto: ↑2 gen 2024, 19:30
Siccome l'incertezza assoluta sulle distanze percorse è di
e quella sui tempi di
secondi si dovrebbe concludere che l'incertezza relativa su V dovrebbe essere data scrivendo
Insomma l'incertezza relativa percentuale di V dovrebbe essere (2/100). Per quanto riguarda il numeratore S-P, la cui incertezza relativa deve essere addizionata a quella di V ancora mi torna troppo alta. Vorrei sapere se sono sulla via giusta
Questa stima dell'errore relativo è sbagliata. Il testo riferisce che "[L']incertezza sulle distanze percorse dalla sfera si può considerare di
", pertanto si ha un errore di
in una distanza compresa tra
e
: dal momento che la sfera percorre progressivamente
in
quasi esattamente
, gli errori relativi nella valutazione delle distanze sono inferiori all'
.
Gli errori nelle distanze variano da
in
, cioè l'
, a
in
, cioè
. Benché non sia fornito l'errore nei tempi, poiché questi ultimi vengono misurati con la precisione del centesimo di secondo, è ragionevole supporre che esso sia di
: avanzando la grezza approssimazione che la velocità limite della sfera sia di
, in questo caso gli errori percentuali sono pressappoco i medesimi di quelli nelle distanze, in quanto anche i tempi variano da
a
circa. Pertanto, gli errori percentuali medi sono di circa
sia per la distanza che per il tempo e, combinandoli, si ottiene un errore relativo poco migliore dell'
.
In un esperimento, tuttavia,
non si calcolerebbero mai gli errori in questo modo. Nonostante si possano stimare gli errori di lettura quando si analizzino i dati sperimentali, solitamente il metodo più utilizzato consiste nel tracciamento dei dati su un grafico al fine di stimare l'errore, prevalentemente osservando come i punti si discostino dalla linea di miglior adattamento (è la cosiddetta
bontà di adattamento,
fitting)
attraverso la
regressione lineare, un metodo di stima del
valore di aspettazione condizionato di una variabile dipendente dati i valori di altre variabili indipendenti: in altri termini, si utilizza la regressione lineare per adattare una linea retta ai dati, quindi si osserva quanto i punti siano vicini alla curva, per poi impiegare processi computazionali attraverso i quali calcolare, ad esempio, l'errore stimato nella pendenza.
Se tutti i punti si trovassero esattamente sulla retta, l'errore sarebbe pari a zero; d'altro canto, più i punti si discostano dalla retta, maggiore è l'errore relativo: ad esempio, in questo caso, tracciando la distanza rispetto al tempo si ottiene una linea retta, ma i punti non si trovano esattamente su quest'ultima, bensì casualmente leggermente sopra o sotto di essa.
I punti di forza di tale metodo sono quelli per cui: 1)
non dipende dalla stima dello sperimentatore sulla valutazione dell'errore; 2) grazie al tracciamento del grafico, gli errori dei singoli punti tendono ad annullarsi nel momento in cui tutti i punti vengono combinati per ottenere una linea retta, pertanto
l'errore nella pendenza è molto più piccolo degli errori nei singoli punti quando si ottiene la pendenza dal grafico stesso tramite la regressione lineare.
Si supponga, ad esempio, di misurare una distanza di
e di essere a conoscenza della presenza di un errore di circa
in essa: se si effettua la misura una sola volta, si otterrà un risultato con un errore dell'
circa. Se, invece, si effettua la medesima misura cinque volte (come nel caso in esame), dal momento che gli errori sono casuali, alcune delle (cinque) misurazioni in questione restituiranno un risultato inferiore a
, altre daranno un risultato superiore a
: ciò significa che, qualora si effettui una media delle misurazioni, i valori superiori e inferiori tenderanno ad annullarsi e la media presenterà un errore minore rispetto a quello della singola misurazione.
Indicando con
il numero delle misurazioni e con
(
sample standard deviation) l'errore nella singola misurazione, l'errore nella media
(
sample standard error) sarà dato da:
Perciò, per
e
, l'errore nella media sarà
, cioè vicino a
(come da previsione iniziale)
Il nocciolo del discorso, tuttavia, è che un grafico rappresenta una sorta di media, dal momento che, tracciando
punti sul grafico combinati dalla pendenza ottenuta, gli errori tendono ad annullarsi secondo un meccanismo simile a quello di esecuzione della media: l'errore nella pendenza calcolato per mezzo della regressione lineare è minore degli errori nei singoli punti.
Ad ogni modo, l'approssimazione
è grossolana in quanto, nonostante si avvicini alla più accurata approssimazione di
, è basata soltanto su una mera osservazione della tabella dei dati sperimentali, non su fondati calcoli statistici.
In questo caso, si può calcolare la velocità grazie, ad esempio, al
metodo dei minimi quadrati.
Siano
il numero di misure,
le distanze percorse dalla sfera e
i tempi di risalita della stessa.
Si pongano:
La velocità sarà data da:
L'errore assoluto in
si può calcolare come:
Solitamente, in questi casi, è sempre più conveniente effettuare il calcolo numericamente attraverso vari passaggi. Il risultato finale è:
Se hai già affrontato lo studio di Statistica e regressione lineare, non ti sarà difficile calcolare
e il corrispondente errore assoluto.
Se, invece, questi metodi ti risultano nuovi, dovresti necessariamente scegliere tra una delle seguenti alternative: A) approssimare
a
e attribuirle un errore di circa
(
per le distanze e
per i tempi, come già visto), con la consapevolezza che si tratti della stima meno accurata tra quelle che si avvicinano di più al risultato corretto; B) accettare i risultati di
ed
sopra forniti e calcolare
e il suo errore relativo; C) iniziare a studiare e approfondare da te i moduli della regressione lineare: puoi consultare la relativa
pagina Wikipedia sulla regressione lineare semplice e, in aggiunta,
questo spreadsheet Excel da me corredato con tutti i risultati numerici, che puoi confrontare una volta assimilati i corretti metodi; D) affrontare insieme lo studio della regressione lineare: questa è l'opzione più dispendiosa e meno conveniente, dal momento che la vastità di questa materia renderebbe difficile da comprendere una trattazione che necessiterebbe di alcune basi preliminari.
Ad ogni modo, nella soluzione che proporrò, esporrò i dettagli delle operazioni della regressione lineare implicate nei calcoli in questione.
Higgs ha scritto: ↑3 gen 2024, 19:29
Per la densità della sfera avrei trovato
.
Pertanto mi risulterebbe
. Sulla base del post precedente essendo
Quindi mi risulta circa il doppio della richiesta del testo
Nonostante non vi siano errori di calcolo nella tua stima degli errori assoluti e relativi, il problema a cui il tuo procedimento va incontro è quello per il quale
le semplici regole per il calcolo degli errori sono approssimazioni al primo ordine: se si esegue un calcolo suddividendolo in piccoli
step multipli,
si approssimano gli errori ad ogni passaggio, prestando il fianco ad una
sovrastima nell'errore complessivo finale.
Higgs ha scritto: ↑3 gen 2024, 19:29
Per la densità della sfera avrei trovato
Al fine di effettuare il calcolo degli errori assoluto e relativo nella densità
della sfera, hai espresso quest'ultima come
, evidenziando un'esplicita dipendenza dell'errore da
e quantificandola correttamente in modo che il numeratore sia
e il denominatore
.
L'applicazione di questo approccio, tuttavia, risulta in una sovrastima degli errori in
. Infatti, nell'espressione
,
è presente sia al denominatore che al numeratore, ed essendo entrambi i termini
identificati dallo stesso valore numerico, presentano il medesimo errore: ciò significa, dunque, che i loro errori si annulleranno.
Per analizzare in dettaglio tale istanza e calcolare la stima più accurata dell'errore in
, è necessario riordinare il termine
distribuendo il denominatore
ad ognuno dei due termini del numeratore, nella forma
: poiché non v'è errore in
, l'incertezza è presente soltanto al termine
.
In particolare:
, con un'incertezza relativa di circa
(cioè poco meno di
), non di circa
(come risultava dalla precedente analisi sovrastimante).
Si analizzi brevemente la medesima situazione da un altro punto di vista. Poiché l'errore percentuale in
è di circa
e quello in
di circa
, l'errore percentuale totale in
è ancora uguale a circa
; annullando l'errore percentuale in
, tuttavia, si determina un errore percentuale minore in
, dal momento che la quantità
dev'essere sottratta a
, termine maggiore di
e che non presenta alcun errore. Uno stesso errore assoluto,
(l'incertezza assoluta di una differenza di due termini è data dalla somma delle incertezze di ogni singolo termine) in una quantità maggiore
si traduce, ovviamente, in un errore relativo minore
.
In definitiva, nella particolare forma dell'espressione di
in cui il rapporto
produca un'incertezza diversa da zero, quest'ultimo è responsabile di una sovrastima dell'errore relativo in
. È necessario prestare molta attenzione alle equazioni in cui la stessa variabile sia presente più di una volta.
Higgs ha scritto: ↑3 gen 2024, 19:29
Pertanto mi risulterebbe
.
In questo passaggio si riscontra un problema molto simile a quello precedente.
Poiché viene richiesto di considerare
senza incertezza, gli unici due fattori moltiplicativi che presentano errore relativo sono
e
.
Inserendo i dati
nel termine
, si ha:
, con incertezza relativa di circa
.
Infatti, l'errore relativo in
sarà maggiore di quello in
perché uno stesso errore assoluto,
(l'incertezza assoluta di una differenza di due termini è data dalla somma delle incertezze di ogni singolo termine) in una quantità minore
si traduce, ovviamente, in un errore relativo maggiore
Dovendo calcolare l'incertezza relativa di
, è necessario sommare le incertezze relative dei due termini
e concludere che l'incertezza totale è di
.
Anche questa, tuttavia, è una sovrastima. Infatti, poiché l'incertezza di
dipende - come si è visto - da
, il prodotto
presenterà - in maniera implicita - un rapporto
da cui si fa dipendere una parte dell'incertezza relativa totale del prodotto, laddove invece gli errori assoluto e percentuale dovrebbero annullarsi in quanto è presente una stessa quantità
sia al numeratore che al denominatore di
. Questo porta all'accumulazione di due errori relativi che in realtà dovrebbero elidersi.
In definitiva, ancora una volta, nella particolare forma dell'espressione di
in cui il rapporto
produca un'incertezza diversa da zero, quest'ultimo è responsabile di una sovrastima dell'errore relativo in
.
Il metodo più corretto per favorire l'esecuzione della stima più accurata possibile dell'errore relativo in un'espressione consiste nella più generale semplificazione di quest'ultima: per evitare sovrastime e calcolare la migliore incertezza relativa, è necessario scrivere l'espressione nella forma simbolica più generale e ridotta possibile,
sconfessando la possibilità che essa possa essere ulteriormente semplificata attraverso passaggi multipli ed esplicitandola in modo da visualizzare solo i parametri
diversi da quelli dai quali dipenda un'incertezza totale riducibile a zero.
In questo caso, sostituendo
in
, si ha:
.
Poiché
e
non presentano incertezze, si può dire che l'errore relativo di
dipenda soltanto da
.
Adesso, puoi calcolare da te l'incertezza relativa in
, con la consapevolezza che essa sarà sicuramente migliore (e non più grande) del valore di
fornito dal testo.
Higgs ha scritto: ↑3 gen 2024, 19:29
chiarirmi come deduci (*) da Bernouilli alle
tue condizioni perchè non mi è chiaro
Nel mio precedente
post, ho avanzato soltanto le informazioni essenziali al calcolo di
, senza entrare troppo nel dettaglio o mostrare esplicitamente i vari passaggi da eseguire, in quanto volevo che tu provassi ad estrapolare tutte le condizioni attraverso cui elaborare un personale metodo di risoluzione. Data la tua richiesta, tuttavia, approfondisco le mie precedenti asserzioni entrando nel dettaglio. I passaggi necessari sono:
1) Sotto l'assunzione di fluido inviscido,
applicare l'equazione estesa di Bernoulli, direttamente derivata dalla conservazione dell'energia, tra la
superficie superiore del serbatoio e
l'apertura di raggio
. Sono già stati snocciolati i motivi per i quali, nonostante l'equazione di Bernoulli possa in linea di principio essere applicata a due punti qualsiasi del fluido in tubo di flusso, i due punti prima evidenziati siano necessariamente quelli a cui sia più conveniente applicare il principio di Bernoulli.
2) Assumere il fluido incompressibile (poiché il fluido in questione è costituito dall'acqua, in prima approssimazione essa può essere considerata tale), le variazioni di pressione atmosferica (ovvero, in termini più semplici, la differenza tra pressione sulla superficie aperta del recipiente e pressione sul foro circolare) trascurabili e la differenza di quota uguale a
(per velocizzare i calcoli, è auspicabile assumere la quota a cui è situata l'apertura come riferimento, ponendo uguale a
la distanza da essa del punto più alto raggiunto dal liquido). Formalizzare tali assunzioni in relazioni fisiche e sostituire queste ultime nell'equazione di Bernoulli sopra menzionata.
3) Dopo lo svolgimento dei punti
1) e
2), ottenere una forma semplificata dell'equazione di Bernoulli (necessariamente, infatti, alcune variabili sono scomparse). Dette
le velocità del fluido in corrispondenza della superficie aperta del serbatoio e dell'orifizio, rispettivamente;
le sezioni del serbatoio di raggio
e dell'apertura di raggio
, rispettivamente, mettere in relazione
e
tramite la nota equazione di continuità e determinare
.
4) Sostituire
nell'espressione semplificata dell'equazione di Bernoulli e risolvere per
.
I motivi per i quali ho deciso di estendere la disamina alla valutazione dell'equazione
sono prevalentemente due:
a) far vedere come la ben nota relazione
sia, in realtà, un caso particolare (o, meglio, un'approssimazione) di una legge più generale;
b) chiarire e fissare le condizioni (collegate tra loro, ma
separate) in accordo alle quali possa essere applicata l'equazione estesa o quella ridotta.
Riguardo al punto
b), infatti, moltissimi libri e varie fonti diffondono il concetto - molto approssimativo e per certi versi non esatto - secondo il quale, se la velocità
del fluido in prossimità della superficie aperta del serbatoio è molto minore della velocità
dello stesso in corrispondenza del foro d'uscita, allora la velocità d'efflusso deve necessariamente valere
(il viceversa è banale: se vale
, allora deve essere
, dal momento che la Legge di Torricelli si ottiene dall'equazione di Bernoulli trascurando il termine
). Cioè, il più delle volte viene asserito che
,
mentre in realtà vale solo
.
Infatti,
(e,
in una certa misura, anche
) rappresenta una condizione
già a monte dell'equazione di Bernoulli, senza la quale quest'ultima non può nemmeno essere concepita e applicata, sia essa esibita nella classica forma in cui la sezione del recipiente sia molto, molto maggiore di quella dell'orifizio (Legge di Torricelli) o, alternativamente, nella configurazione meno consueta in cui la sezione del recipiente sia molto maggiore di quella del foro in una misura in cui sia ancora possibile stabilire un rapporto numerico tra le due. La ragione per cui
è la condizione vincolante per applicare l'equazione di Bernoulli è quella per cui quest'ultima è valida solo per
flussi (quasi)-stazionari di fluidi inviscidi, che possono avvenire allorché, in un piccolo intervallo di tempo, il livello del fluido si abbassi in misura molto contenuta proprio in quanto la velocità di efflusso è parecchio maggiore di quella del fluido all'inizio del suo moto.
L'equazione di continuità - su cui l'equazione di Bernoulli deve fare affidamento - si presenta in una forma per cui, se
, allora necessariamente
: in ogni caso, la sezione dell'apertura dev'essere considerata molto piccola rispetto a quella del serbatoio perché l'equazione di Bernoulli possa essere utilizzata. Ciò che rappresenta il vero grattacapo è stabilire entro quali misure valga la relazione
e, una volta trovate, distinguere due casi:
1) La sezione
del serbatoio è molto maggiore di quella
dell'apertura in una misura in cui sia ancora possibile stabilire e fissare un preciso rapporto numerico tra le due: la valutazione di questa opzione è dovuta ad una mera esperienza nel campo della dinamica dei fluidi. Se, ad esempio, viene specificato che
, conoscenze provenienti da questa branca delle scienze assicurano che il rapporto sia abbastanza piccolo da garantire che la sezione del foro sia molto minore di quella del serbatoio: in generale, quando venga fornito un determinato valore numerico per
, è necessario essere in grado di dedurre se tale rapporto sia ragionevolmente molto piccolo (in questo caso, si applicherebbe l'equazione di Bernoulli) o se, in caso contrario, la stessa equazione di Bernoulli non sia impiegabile in quanto il rapporto non è abbastanza piccolo da garantire il rispetto (più o meno accurato) della condizione
.
In questo caso si utilizza
l'equazione (più generica) di Bernoulli per variazioni di pressione atmosferica trascurabili per soddisfare la (pur necessaria) condizione
circostanziale , per la quale costituisce un'ottima approssimazione senza che risulti intrinsecamente dipendente da essa.
2) La sezione
del serbatoio è molto maggiore di quella
dell'apertura in una misura in cui non è assolutamente possibile stabilire e fissare un preciso rapporto numerico tra le due.
In questo caso si utilizza la
Legge di Torricelli (particolare caso dell'equazione - più generica - di Bernoulli per variazioni di pressione atmosferica trascurabili)
per soddisfare la condizione
strettamente necessaria e vincolante , dalla quale dipende direttamente e intrinsecamente.
Un caso in cui l'assunzione
potrebbe venire meno, senza tuttavia costituire un problema, è quello in cui si utilizza la Legge di Torricelli per calcolare i tempi di svuotamento di determinate forme di serbatoio, ad esempio un serbatoio cilindrico orizzontale, ove la condizione
non è chiaramente valida quando il livello del fluido sia vicino alla parte superiore o inferiore del serbatoio. Si ottiene, tuttavia, una legge valida per tutti i livelli non troppo vicini alla parte superiore o inferiore ed in concomitanza ad essa, entro certi limiti, anche una buona approssimazione del tempo di scarico.
Qui è difficile comprendere appieno ciò a cui hai pensato e che hai messo a punto. Stante la richiesta del testo di calcolare la velocità di efflusso del liquido dall'orifizio di raggio
, sembra (e costituisce la scelta più ragionevole) che tu abbia applicato l'equazione di continuità tra un punto sul condotto di raggio
e un punto sull'apertura di raggio
, assumendo però che nel tubo di sezione maggiore il fluido assuma velocità
. Si esaminino separatamente i due fattori (velocità e sezione) che concorrono alla continuità della massa:
1) Velocità.
Opzione A) Hai arbitrariamente (senza alcuna motivazione evidente) assunto che la velocità del fluido all'interno del condotto di raggio
sia
. Questa valutazione è errata: la velocità
del fluido nel tubo di raggio
, al pari della velocità
di efflusso dal foro di raggio
, è un'incognita che dev'essere determinata
a posteriori, non a priori.
Opzione B) Hai confuso la velocità di efflusso con quella assunta dal fluido nel condotto di raggio maggiore: in questo caso, dalla situazione precedente in assenza della sfera, avresti assunto che la velocità di efflusso in presenza della sfera (che, in realtà, dovrebbe essere l'incognita da calcolare) sia
, ma l'avresti scambiata con la velocità nel tubo orizzontale di sezione maggiore, credendo così di calcolare la velocità di efflusso quando, in realtà, l'unica variabile calcolabile sarebbe la velocità nel tubo orizzontale.
L'opzione A) è sbagliata perché arbitraria, l'opzione B) lo è in quanto assurda e confusiva.
2) Sezione. Opzione A) Hai assunto che la sezione del foro circolare sia
, quando essa è invece
, con
raggio dell'apertura, come da indicazione del testo.
Opzione B) Hai assunto che la sezione del foro circolare sia
, quando essa è invece
, con
raggio dell'apertura, come da indicazione del testo.
Queste due opzioni non sembrano avere contenuti rilevanti rispetto al tuo svolgimento. L'unica spiegazione plausibile che possa essere rinvenuta riguardo al tuo procedimento è quella per cui avresti applicato l'equazione di continuità tra un punto del tubo orizzontale (di sezione
) in cui non vi sia la sfera e il punto dello stesso condotto di raggio
in cui vi sia la sfera, sottraendo l'area
della sfera alla sezione
del tubo. In questa situazione, tuttavia, sarebbero inclusi tutti i risultati arbitrari, assurdi o confusivi delle Opzioni A) e B) della voce Velocità. In altri termini, dalla tua equazione non sono estraibili informazioni precise sul comportamento della sfera all'uscita della convergenza circolare di raggio
.
Il tuo risultato per la velocità di efflusso in presenza della sfera non può essere corretto:
la sfera agisce da valvola, generando una componente viscosa dissipativa che agisce in verso opposto al moto e rallenta la velocità complessiva del flusso, pertanto la velocità di uscita del fluido in presenza del corpo dev'essere strettamente minore di quella che lo stesso fluido avrebbe se la sfera non fosse presente.
In questo caso, poiché sia la velocità
del fluido nel tubo orizzontale di raggio
(non fornita dal testo) che la velocità
di efflusso dallo sbocco circolare di raggio
(richiesta dal testo) costituiscono incognite, l'equazione di continuità tra un punto dell'uscita circolare e uno del condotto di raggio maggiore rappresenta lo strumento attraverso cui è possibile calcolare
in funzione di
. L'impiego della sola equazione di Leonardo, tuttavia, non è sufficiente a soddisfare pienamente la richiesta del problema, dal momento che è presente una sola equazione in due incognite. Bisognerà dunque calcolare
in funzione di
e sostituirla in una determinata equazione da risolvere per
.
Nel mio post precedente, ho già fornito (più o meno in dettaglio) le direttive che conducono ad un'adeguata comprensione dell'equazione appena menzionata. Molto probabilmente non hai potuto leggere (o, in alternativa, ne hai trascurata gran parte) la presentazione (con annessi spunti) della modalità di derivazione della Legge di Torricelli dalla relazione
. Pur lasciando a te il calcolo di
, ho parlato in dettaglio del ruolo rivestito dal lavoro delle forze non conservative
, mettendone in luce la dipendenza da due fattori. Nel caso di fluido inviscido (assunzione in assenza della sfera), si è già detto che l'unico contributo a
proviene da:
Tarapìa Tapioco ha scritto: ↑1 gen 2024, 21:46
forze dovute alle pressioni
sulla superficie del recipiente e
sul foro circolare di raggio
e si è stimato tale lavoro in
. Poiché viene esplicitamente richiesto di trascurare le differenze di pressione atmosferica, e dal momento che alla base della validità della Legge di Torricelli vi è l'assunzione per cui le pressioni sulla superficie superiore del fluido e sull'orifizio siano entrambe uguali alla pressione atmosferica
(la condizione facilitante del testo presuppone già a priori l'applicazione della Legge di Torricelli), si può concludere che
, dunque
. Si è perciò dimostrato che l'equazione (più generica) di Bernoulli per variazioni di pressione atmosferica trascurabili e la Legge di Torricelli da essa ricavata, sono risultati derivanti dal principio di conservazione dell'energia meccanica.
Ho già spiegato dettagliatamente le implicazioni qualitative alla base di
quando ho detto:
Tarapìa Tapioco ha scritto: ↑1 gen 2024, 21:46
Quando sia presente un'apertura, la pressione all'uscita è pari alla pressione atmosferica
in quanto il fluido in prossimità dello scarico è in equilibrio con l'aria all'esterno del recipiente, che si trova alla medesima pressione
. Infatti, in corrispondenza del foro la pressione dell'aria sulla superficie del getto agisce in direzione normale al flusso stesso: pertanto, poiché la pressione è continua attraverso l'interfaccia (trascurando la tensione superficiale), la pressione dell'acqua all'interno della superficie deve essere pari alla pressione atmosferica
. Inoltre, se non c'è movimento radiale del fluido, la pressione deve essere uniforme su tutta la sezione trasversale: dal momento che, per la legge di Pascal, la pressione agisce ugualmente in tutte le direzioni, la pressione deve spingere in direzione assiale sull'intera sezione trasversale con un valore pari a
.
In generale, tuttavia, non vale
: quando
, allora l'equazione di Bernoulli e/o la Legge di Torricelli non possono essere applicate.
Un'interessante situazione in cui la Legge di Torricelli non è applicabile e nella quale agiscono le forze denominate con
è quella secondo cui
: in questo caso, si scopre in modo controintuitivo che la velocità di uscita è zero.
Si consideri un foro vicino al fondo di una bottiglia di plastica, la si riempia d'acqua e si avviti il tappo: l'acqua non uscirà affatto dal foro. Infatti, la cavità d'aria sopra l'acqua si è leggermente espansa, mentre il livello dell'acqua si abbassa lievemente, in modo che (per la legge di Boyle) la pressione si riduca di pochi centimetri a cui si trova la pressione dell'acqua (si noti che la pressione dell'acqua a
è uguale a
). La pressione dell'acqua nel foro è dunque pari alla pressione atmosferica e non si verifica alcun flusso. In altre parole, si ha
e
- e dall'equazione
si ricava
.
Se si inclina gradualmente la bottiglia di lato, si arriva ad un punto in cui il livello dell'acqua si riduce ad un livello sufficiente a provocare un abbassamento della pressione proprio all'interno del foro, al di sotto della pressione atmosferica, in modo che l'aria entri a forza nel buco, provocando un flusso di bolle nella cavità dell'aria. Se si svita il tappo mentre la bottiglia è tenuta in verticale, si ottiene immediatamente
e l'acqua fuoriesce dal foro (dunque, la Legge di Torricelli torna ad essere valida); avvitando di nuovo il tappo, il flusso si interromperà immediatamente (la Legge di Torricelli, in questo caso, fallisce perché
). Il principio di tale esperimento è lo stesso del noto esperimento della tazza d'acqua capovolta con una carta.
Anche ammettendo che le forze descritte in
non influiscano sul lavoro delle forze dissipative, il contributo a
può provenire da
Tarapìa Tapioco ha scritto: ↑1 gen 2024, 21:46
forze esercitate sul fluido dai lati e dal fondo del recipiente.
In questo senso, ad esempio, uno scenario in cui la Legge di Torricelli fallisce è quello in cui un serbatoio viene drenato da un tubo collegato al foro di uscita e si osserva che la velocità di efflusso aumenta se un dito viene posto parzialmente sopra l'estremità del tubo: in questo caso, il metodo previsto dalla Legge di Torricelli perde ogni validità in quanto le ipotesi relative a
non sono più valide: l'attrito gioca un ruolo molto più importante all'interno della stretta sezione trasversale del tubo rispetto ai confini più ampi del serbatoio, pertanto viene introdotta una certa turbolenza. Il flusso complessivo è più complesso rispetto allo scenario semplificato della Legge di Torricelli e l'attrito contribuisce con una quantità negativa a
riducendo l'energia cinetica rispetto al valore dato dalla Legge di Torricelli, che afferma che tutta la perdita di energia potenziale viene convertita in energia elastica all'uscita. Il restringimento dell'uscita del tubo introduce anche una forza sul fluido, causando collisioni anelastiche e perdita di energia cinetica, ma grazie al suo effetto di rallentamento possiede anche l'effetto di ridurre l'attrito all'interno del tubo: anche se l'energia cinetica complessiva fosse minore a causa del restringimento dell'uscita del tubo, la velocità di efflusso potrebbe comunque aumentare poiché la portata del fluido è pari a
, con la sezione
che è diminuita.
Ritornando al caso in cui la sfera sia fissata al tubo di raggio
, la presenza del corpo provocherà una resistenza viscosa agente in verso opposto al flusso (si tratta delle forze di natura dissipativa descritte in
), pertanto la forza di resistenza aerodinamica
(dove
è il vettore velocità del fluido in un punto del condotto di raggio
, il cui modulo si può ottenere - come visto - dall'equazione di continuità) compirà un lavoro
. Bisogna calcolare tale lavoro e inserirlo nell'equazione
. Come già detto, dovrai ottenere un risultato dipendente da una costante
.