SNS n.2, 2023

[Higgs]

Si consideri una carica puntiforme q posta in un punto (0,0,b)sul semiasse positivo delle z (orizzontale) in presenza di un sottilissimo foglio metallico isolato e complessivamente neutro disposto lungo la metà della superficie sferica di raggio a centrata nell'origine e posta nel semispazio negativo delle z.Si discuta qualitativamente la forza a cui è soggetta la carica q e si determini se per qualche valore positivo di b essa possa o meno essere repulsiva, ovvero diretta come + il versore dell'asse z. Si considerino in particolare il caso b>>a e quello

[Pigkappa]

Molto bello!

Prima di postare quel che ho in mente io, guardo se qualcuno più giovane (compreso tu se vuoi) si cimenta

[Tarapìa Tapioco]

Prima di postare quel che ho in mente io, guardo se qualcuno più giovane (compreso tu se vuoi) si cimenta

Preferisci che io posti la mia soluzione completa sin da subito, oppure che io pubblichi il mio procedimento dopo che sia passato un po' di tempo, aspettando che @Higgs provi a svolgere il problema (eventualmente guidato con consigli e suggerimenti)?

[Pigkappa]

Aspettiamo ~2 giorni, noi ormai siamo pensionandi

[Higgs]

Prego i pensionandi di aspettare a domani

[Higgs]

Le cariche negative e positive indotte da q nel semiguscio sono nei dettagli indeterminabili. Quello che è certo è che la carica -q' più vicina a q deve essere in valore assoluto uguale alla carica indotta +q' più lontana. Indico con l'angolo formato con il raggio a perpendicolare a z da un raggio della semicirconferenza sezione con il foglio. La zona con carica indotta negativa sia compresa fra 0 e mentre quella con carica indotta positiva sia compresa fra e . Le cariche indotte nel semiguscio sono indeterminabili nei dettagli. La cosa che posso dire è che indicando con e densità di carica e area di competenza il loro prodotto e deve essere uguale in valore assoluto. Supponiamo ora di dividere in corone circolari infinitesime la superficie del semiguscio ciascuna larga e di raggio . La forza attrattiva diretta come con versore dell'asse z saranno per simmetria ed ottenuta con la densità positiva ed integrando fra e . Ora va fatta una importante osservazione sulle componenti verticali e orizzontali di queste forze. Se consideriamo due elementi di corona diametralmente opposti le componenti della forza esercitata su q si elidono mentre raddoppiano le componenti orizzontali lungo l'asse z. Contano come era intuitivo solo le componenti orizzontali dirette come se sono attrattive e come se sono repulsive. Quindi la differenza attrattiva-repulsiva rappresenta la forza totale agente su q. In dettaglio però possono avvenire dei ri sultati inaspettati come suggerisce il testo
a) sia b>>a. La distanza che determina l'intensità della forza può essere ritenuta in entrambi i casi ma le componenti orizzontali repulsive cioè dirette come possono per qualche b prevalere perchè come si vede possono essere maggiori di quelle attrattive che "terminano prima" delle altre e con rilevanti componenti verticali che si elidono. Le componenti repulsive invece hanno componenti verticali minori e che diminuiscono fino ad annullarsi a . Quindi possono esistere valori di b per cui la risultante totale è diretta come .
b) sia 0<b<a . Quando praticamente la forza attrattiva è tutta verticale e si elide mentre quella repulsiva conserva una apprezzabile componente orizzontale massima a dove scompare quella verticale. Anche in questo caso possono esistere valori di b che rendono la forza totale diretta come . Ai pensionandi la sentenza tenendo conto del liceale in sede d'esame...
PS Ho provato anche con il metodo dell'immagine ma non mi torna. Riproverò..

[Pigkappa]

Indico con l'angolo formato con il raggio a perpendicolare a z da un raggio della semicirconferenza sezione con il foglio. La zona con carica indotta negativa sia compresa fra 0 e mentre quella con carica indotta positiva sia compresa fra e

Qui non capisco davvero quale angolo sia .

Ma credo di aver capito che, nel seguito, descrivi che quando è più grande di 0 ma non troppo, viene attirata una carica negativa sulla parte della semisfera più vicina alla carica, e positiva in quella lontana che è nella cupola della semisfera.

Su questo sono d'accordo. Non lo hai davvero dimostrato, ma neanche io ho una dimostrazione formale di questo.

a) sia b>>a. La distanza che determina l'intensità della forza può essere ritenuta in entrambi i casi ma le componenti orizzontali repulsive cioè dirette come possono per qualche b prevalere perchè come si vede possono essere maggiori di quelle attrattive che "terminano prima" delle altre e con rilevanti componenti verticali che si elidono.

Qui non ho capito il "terminano prima", e comunque non sono particolarmente d'accordo. Se la forma della semisfera importa poco, perché viene vista come un corpo che sottende in ogni caso un angolo molto piccolo dalla carica. La forza dovuta sia a tutte le cariche negative a distanza circa , che quelle positive a distanza circa è pressochè orizzontale.

Quando praticamente la forza attrattiva è tutta verticale e si elide mentre quella repulsiva conserva una apprezzabile componente orizzontale

Sono d'accordo.

Quindi per te la forza da vicino è repulsiva, e quando è grande "possono esistere valori di b" per cui è repulsiva, ma non dici se esistono valori di b per cui è attrattiva oppure no.

Puoi dimostrare che la forza non può essere sempre nella stessa direzione? Suggerimento: energia.

Ho provato anche con il metodo dell'immagine ma non mi torna.

Proverei invece a trovare una spiegazione del perché non si può fare il metodo delle immagini...
(Che comunque è naturale provare come primo passo, anche io ci ho perso un po' di tempo)

[Higgs]

Le tue giustificate obiezioni sono due.
1) Definizione di . La sezione del guscio con il piano del foglio è una semicirconferenza. C'è un unico raggio perpendicolare all'asse z. Esso corrisponde a , il generico raggio della semicirconferenza forma l'angolo fino al raggio giacente su z che forma

2) b>>a . Ho conservato per b>>a la stessa suddivisione nelle due zone di cariche indotte, fino a negativa e per positiva. E' discutibile ma non ho visto alternative se non quella di considerare il guscio negativo come se fosse collegato a terra. Ma non lo è secondo il testo. L'intensità della forza che dipende da di sicuro può essere ritenuta uguale. Nella zona negativa (basta osservare le corone circolari infinitesime) si conserva una maggiore componente verticale che nella zona negativa dove è maggiore la componente orizzontale mentre quella verticale è minore, tende a diminuire e si annulla del tutto a . Ecco perchè dicevo che le componenti orizzontali, che sono quelle che contano perchè le verticali si elidono, "terminano prima" rispetto alla zona negativa. Per cui ci possono essere valori di b per cui la repulsione prevale sull'attrazione come implicitamente suggeriva il testo. Perché sennò avrebbe chiesto di indagare quella zona di b>>a come quella di b<a?
PS Per quanto riguarda il metodo delle immagini non mi torna perchè non posso annullare il potenziale sul guscio di due cariche positive , q e l'indotta q'>0

[Pigkappa]

Ok, per quanto riguarda l'angolo ho capito. Troverei più naturale usare langolo compreso tra il polo della semisfera, la carica q, e la posizione sulla semisfera, così che , ma non fa differenza.

Questo è l'argomento energetico per dire che la forza deve cambiare segno da qualche parte.

L'energia potenziale del sistema per è chiaramente zero.

Anche per è zero. Questo perché se , la semisfera ha potenziale uniforme e carica totale zero, quindi . La carica al centro è a distanza uguale da tutti i pezzetti di carica sulla superficie della sfera, quindi potenziale .

Allora l'energia potenziale ha un valore estremo da qualche parte. In tale punto cambia segno e la forza cambia segno.

Quando , dal punto di vista della carica, la semisfera occupa un angolo molto piccolo. La carica negativa viene attirata nella parte vicina, quella positiva va sulla parte lontana, e le forze tra particella e cariche sono tutte quasi esattamente lungo . Allora le forze attrattive vincono. Potremmo calcolare la dipendenza da rimpiazzando la semisfera con un altro corpo di forma più semplice, ad esempio una sfera, e penso troveremmo dove è un coefficiente numerico vicino a 1.

Allora da qualche altra parte la forza deve essere repulsiva. Mi aspetto che sia vicino alla sfera, il che vuol dire approssimativamente . In questo caso la carica negativa viene comunque attirata vicino a , quindi vicino alla circonferenza di base della semisfera. Una buona parte della forza dovuta alla carica negativa è esercitata ortogonalmente a e queste componenti si elidono, e la componente repulsiva vince.

Il metodo delle cariche immagini non si può usare, almeno non in modo standard, perché quel metodo richiede di avere condizioni al contorno (e.g. potenziale uniforme) su una superficie che delimita una zona isolata dello spazio. Si possono poi mettere cariche virtuali dentro quella zona isolata dello spazio, cercando di soddisfare le condizioni al contorno, e allora il potenziale al di fuori di tale zona è stato interamente determinato.

In questo problema non c'è una zona dello spazio isolato, perché la semisfera non è chiusa. Mettendo cariche dentro la semisfera stiamo influenzando anche il potenziale sulla metà mancante della superficie sferica, e non sappiamo nulla su questo potenziale prima di risolvere il problema, quindi non ci è possibile determinare se stiamo ottenendo la forma giusta del potenziale in quei punti.

[Higgs]

Qualche osservazione sul tuo intervento con cui in buona sostanza concordo
1)Anche con il tuo non è detto che la densità di carica sul guscio sia costante (ma capisco bene quello che scrivi ?). Per me ribadisco che si deve dire almeno con il mio
2)Non occorre investigare giacchè b>>a non significa che b diverga
3) Non mi torna che per b che tende a 0 l'energia potenziale è 0. Semmai essa tende a zero. Come dice il testo comunque la repulsività deve essere investigata per b positivo. Mi sembra comunque di essere d'accordo con le conclusioni in