Torros ha scritto: ↑1 set 2023, 19:45
Un insetto possiede la particolare capacità di arrotolarsi per nascondersi da possibili predatori. In questa configurazione, l'insetto può essere approssimato ad una sfera di massa
, raggio
e densità
costante. Ricavare il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto, utilizzando il valore dell'energia potenziale gravitazionale dello stesso (ovvero l'energia potenziale di una massa sferica. Tale valore non deve essere dato per noto, ma ricavato usando i dati in possesso).
Si approssimi l'insetto ad una sfera solida uniforme di massa
e raggio
, avente densità
, dove
. Dunque,
e
sono legati a
dalla relazione:
.
L'energia potenziale gravitazionale
della sfera in esame equivale al lavoro totale
svolto dalla massa
per assemblare tutte le sue particelle infinitesime, inizialmente poste a distanza infinita, nella forma di una sfera di raggio
. Si consideri quindi una situazione intermedia in cui si divida la distribuzione sferica in una serie di gusci sferici progressivamente più grandi. Gradualmente, le quantità elementari
di massa vengono prelevate dall'infinito e assemblate in un punto in modo che la sfera abbia massa
e raggio
in ogni istante, e densità uniforme
, da cui:
Portando una massa
da
a
, il suo raggio aumenta di una quantità infinitesima
tale che:
L'energia potenziale gravitazionale infinitesima
della sfera, ovvero il contributo di lavoro elementare
compiuto dalla massa
allo scopo di portare
da
alla superficie di raggio
, è dato da:
, dove
è il potenziale presente sulla superficie di raggio
e
è il potenziale all'infinito, arbitrariamente considerato nullo. Dunque, l'energia infinitesima è data da:
. Sostituendo le espressioni
e
per
e
, rispettivamente, si ottiene:
.
L'energia potenziale gravitazionale
, ovvero il lavoro totale svolto per assemblare l'insetto-sfera di raggio
, è dato dalla somma di tutti i contributi infinitesimi
compiuti dalla massa
al variare del suo raggio tra il valore minimo
e il valore massimo
. Dunque, integrando, si ha:
. Sostituendo l'espressione
per
, si ha:
. Semplificando, si ottiene:
Poiché la forza di attrazione gravitazionale è una forza di interazione tra coppie di particelle, l'energia potenziale gravitazionale totale in una distribuzione composta da punti si configura come somma delle energie di interazione di ogni possibile coppia di particelle da cui è formato il sistema: si calcoli, pertanto, l'energia potenziale gravitazionale considerando l'interazione tra tutte le coppie di punti della sfera. Essa sarà data da:
, dove
è il numero di coppie di punti,
e
rappresentano le masse delle due particelle interagenti e
designa la mutua distanza tra due punti interni all'insetto-sfera. Si può riscrivere tale equazione come prodotto tra il numero
di coppie di punti e il valore medio dell'energia potenziale
. Dunque:
.
Poiché l'insetto è assunto come distribuzione sferica uniforme, le particelle di cui si compone la massa totale
possiedono tutte la medesima massa, per cui:
. Pertanto, il prodotto tra le due masse sarà:
. Si immagini di dividere tale distribuzione sferica in un numero
di punti tali che la massa totale
sia data dal prodotto tra massa
e numero
di punti. Per cui:
. Sostituendo il prodotto
appena trovato nella precedente equazione di
, è possibile condurre il prodotto
fuori dal simbolo di valor medio e ottenere:
.
Per
, è possibile un numero
di coppie pari a:
. Supponendo di dividere la distribuzione in un numero molto grande di particelle, tendente a infinito (
), allora la quantità
è molto vicina, dunque approssimabile, a
; è possibile scrivere una relazione del tipo
, tale per cui:
. Sostituendo in
:
.
Uguagliando le due espressioni per
riquadrate in nero, il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto
sarà dato da: