Torros ha scritto: ↑1 set 2023, 19:45
Un insetto possiede la particolare capacità di arrotolarsi per nascondersi da possibili predatori. In questa configurazione, l'insetto può essere approssimato ad una sfera di massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
, raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
e densità
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\rho)
costante. Ricavare il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto, utilizzando il valore dell'energia potenziale gravitazionale dello stesso (ovvero l'energia potenziale di una massa sferica. Tale valore non deve essere dato per noto, ma ricavato usando i dati in possesso).
Si approssimi l'insetto ad una sfera solida uniforme di massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
e raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
, avente densità
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\rho = \displaystyle \frac{M}{V_{\text{sfera}}})
, dove
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?V_{\text{sfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3)
. Dunque,
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
sono legati a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\rho)
dalla relazione:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?(1))
.
L'energia potenziale gravitazionale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U)
della sfera in esame equivale al lavoro totale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?L )
svolto dalla massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
per assemblare tutte le sue particelle infinitesime, inizialmente poste a distanza infinita, nella forma di una sfera di raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
. Si consideri quindi una situazione intermedia in cui si divida la distribuzione sferica in una serie di gusci sferici progressivamente più grandi. Gradualmente, le quantità elementari
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}m)
di massa vengono prelevate dall'infinito e assemblate in un punto in modo che la sfera abbia massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m)
e raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r)
in ogni istante, e densità uniforme
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi r^3})
, da cui:
Portando una massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}m)
da
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty)
a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r)
, il suo raggio aumenta di una quantità infinitesima
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}r)
tale che:
L'energia potenziale gravitazionale infinitesima
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}U)
della sfera, ovvero il contributo di lavoro elementare
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}L)
compiuto dalla massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m)
allo scopo di portare
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}m)
da
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\infty)
alla superficie di raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r)
, è dato da:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}L = \mathrm{d}m (V_r - V_{\infty}))
, dove
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?V_r = -\frac{G m}{r})
è il potenziale presente sulla superficie di raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?V_{\infty} = 0)
è il potenziale all'infinito, arbitrariamente considerato nullo. Dunque, l'energia infinitesima è data da:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}U = \mathrm{d}L = \mathrm{d}m V_r = \mathrm{d}m \bigg(-\frac{G m}{r} \bigg))
. Sostituendo le espressioni
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?(2))
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?(3))
per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}m)
, rispettivamente, si ottiene:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}U = -\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2r^4\mathrm{d}r)
.
L'energia potenziale gravitazionale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U)
, ovvero il lavoro totale svolto per assemblare l'insetto-sfera di raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
, è dato dalla somma di tutti i contributi infinitesimi
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathrm{d}U = \mathrm{d}L)
compiuti dalla massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m)
al variare del suo raggio tra il valore minimo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r_{\text{min}} = 0)
e il valore massimo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r_{\text{max}} = R)
. Dunque, integrando, si ha:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?-\frac{16}{15}\pi^2G\rho^2R^5)
. Sostituendo l'espressione
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?(1))
per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\rho)
, si ha:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U = -\frac{16}{15}\pi^2GR^5\bigg(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\bigg)^2 = -\frac{\cancel{16}}{\cancel{15}_5}\cdot\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{16}} \cancel{\pi^2} G\cancel{R^5}\frac{M^2}{\cancel{\pi^2} R^{\cancel{6}}})
. Semplificando, si ottiene:
Poiché la forza di attrazione gravitazionale è una forza di interazione tra coppie di particelle, l'energia potenziale gravitazionale totale in una distribuzione composta da punti si configura come somma delle energie di interazione di ogni possibile coppia di particelle da cui è formato il sistema: si calcoli, pertanto, l'energia potenziale gravitazionale considerando l'interazione tra tutte le coppie di punti della sfera. Essa sarà data da:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U = \sum_{N_{\text{coppie}} =1}^{n}-G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}})
, dove
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{coppie}})
è il numero di coppie di punti,
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_1)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_2)
rappresentano le masse delle due particelle interagenti e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?r_{1,2})
designa la mutua distanza tra due punti interni all'insetto-sfera. Si può riscrivere tale equazione come prodotto tra il numero
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{coppie}})
di coppie di punti e il valore medio dell'energia potenziale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\left\langle U \right\rangle = \left\langle -G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}} \right\rangle)
. Dunque:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U = N_{\text{coppie}} \left\langle -G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}} \right\rangle)
.
Poiché l'insetto è assunto come distribuzione sferica uniforme, le particelle di cui si compone la massa totale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
possiedono tutte la medesima massa, per cui:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_1 = m_2 = m)
. Pertanto, il prodotto tra le due masse sarà:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_1m_2 = m^2)
. Si immagini di dividere tale distribuzione sferica in un numero
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}})
di punti tali che la massa totale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?M)
sia data dal prodotto tra massa
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m)
e numero
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}})
di punti. Per cui:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_1m_2 = \frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2})
. Sostituendo il prodotto
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?m_1m_2)
appena trovato nella precedente equazione di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U)
, è possibile condurre il prodotto
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?-Gm_1m_2)
fuori dal simbolo di valor medio e ottenere:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U = -G\frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2}N_{\text{coppie}} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}} \right\rangle)
.
Per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}})
, è possibile un numero
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{coppie}})
di coppie pari a:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}(N_{\text{punti}}-1)}{2})
. Supponendo di dividere la distribuzione in un numero molto grande di particelle, tendente a infinito (
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}}\to \infty)
), allora la quantità
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}}-1)
è molto vicina, dunque approssimabile, a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}})
; è possibile scrivere una relazione del tipo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{punti}} -1 \sim N_{\text{punti}})
, tale per cui:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}(N_{\text{punti}}-1)}{2} = \frac{N_{\text{punti}} \cdot N_{\text{punti}}}{2} \Rightarrow N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}^2}{2})
. Sostituendo in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U)
:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\boxed {U = -\frac{1}{2} GM^2 \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle})
.
Uguagliando le due espressioni per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?U)
riquadrate in nero, il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle)
sarà dato da:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\color{Red} \boxed{\color{Black} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle = \frac{6}{5} \times \frac{1}{R}})