Punto terzo
Affinché la cavalletta superi il tronco di diametro
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?2R)
(considerando la lunghezza del tronco stesso molto maggiore rispetto al diametro) con la minor velocità iniziale è necessario che essa lo cerchi di superare muovendosi in direzione perpendicolare all'asse di rotazione del tronco. E' anche abbastanza evidente che la traiettoria dell'insetto debba essere tangente alla superficie del tronco, sempre per minimizzare la velocità inziale. Imposto dunque il sistema:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
\begin{cases}
y= -\frac{H}{d^2}x^2+H \\
\\
y^2+x^2-2Ry= 0
\end{cases}
)
Dove
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H)
rappresenta l'altezza massima raggiunta dalla traiettoria (la quale è descritta dalla prima equazione),
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
rappresenta la distanza dal centro del tronco dalla quale parte la traiettoria dell'insetto. La seconda equazione è l'equazione di una circonferenza di raggio
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?R)
e centro in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?(0,R))
.
Sostituendo la prima equazione nella seconda otteniamo:
Ponendo il delta di tale equazione uguale a zero (affinché la parabola e la circonferenza siano tangenti), si ottiene:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Risolvendo rispetto ad H si trova:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Ottenendo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H)
in funzione di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
. Ovviamente si è presa una sola soluzione, in quanto è facile verificare che la seconda è negativa (ricordando che R<d).
L'altezza massima può essere descritta attraverso l'equazione del moto:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Dove abbiamo sostituito la velocità inziale rispetto all'asse delle y con
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\sqrt{2gH})
sfruttando il principio di conservazione dell'energia e il fatto che la velocità rispetto all'asse delle x rimane costante per via della conservazione della quantità di moto. Risolviamo l'equazione precedente rispetto a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t)
ed otteniamo:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Da qui è possibile sostituire l'espressione di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H)
in funzione di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
nell'ultima equazione ed ottenere il tempo che la cavalletta impiega per arrivare a metà della sua traiettoria in funzione di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
Sfruttando ancora il fatto che la velocità lungo x rimane costante:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
e sostituendo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t)
, si ottengono le espressioni della velocità iniziale lungo l'asse delle x e delle y, che sintetizzo in questo sistema esprimendole al quadrato.
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
La somma delle due velcità al quadrato fornisce la velocità totale iniziale al quadrato, espressa in funzione della sola distanza.
Derivando il quadrato della velocità totale rispetto alla distanza si ottiene:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Ponendo tale derivata maggiore di zero, si scopre che
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v)
decresce per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d< \frac{(2+\sqrt{2}R}{2})
e cresce per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d> \frac{(2+\sqrt{2})R}{2})
. Il minimo di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v)
si ha dunque per:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
Sostituendo il valore trovato di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_x^2)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_y^2)
, dividendo il secondo per il primo e facendo la radice quadrata si ottiene il valore della tangente dell'angolo iniziale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\theta)
:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\\)
che fornisce il valore di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\theta= 67.5)
°
Punto primo
Sostituendo il valore di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?d)
nell'ultimo sistema scritto, sommando i quadrati di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_x)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_y)
e mettendo tutto sotto radice otteniamo il valore minimo che la velocità iniziale può assumere per permettere alla cavalletta di superare il tronco:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v=\sqrt{2(\sqrt2 +1)gR})