Buongiorno. Credo sia giunto il momento di riprendere la discussione che avevamo lasciato in sospeso. Nonostante il valore della componente orizzontale
da te calcolato sia corretto, purtroppo non lo è quello della reazione normale
, che prevede un risultato differente da quello proposto nella tua risposta: ciò deriva dall'aver trascurato di considerare la forza peso
, secondo un appropriato sistema di riferimento e un corretto impiego dei segni (ovviamente,
ha uguale direzione e verso opposto a
), nell'equazione di moto verticale (lungo
). Ecco dunque che, essendo errato il valore simbolico di
, ne risentono anche i successivi calcoli da te abbozzati. La reazione normale
non si annulla per
né raggiunge il massimo valore di
ad un angolo di
: essa avrà un particolare andamento in corrispondenza di
e in corrispondenza di un angolo
che si avvicina molto a quello - da te stimato - di
, il quale tuttavia non rappresenta il valore corretto. Ti invito, dunque, a rivedere lo studio di
)
e a determinarne correttamente gli intervalli di positività e negatività, gli zeri, i punti estremanti, ecc..., nonché a riformulare i calcoli per la valutazione del
range di forza d'attrito fruibile (ti faccio notare, in aggiunta, come l'angolo
, non circa
, risultato - quest'ultimo - che incredibilmente si avvicina al valore massimo di
affinché la matita scivoli all'indietro); inoltre, data la forma del risultato finale di
, è auspicabile stabilire quali informazioni si possano ricavare ai fini della domanda del problema. Corretta la relazione tra la forza d'attrito
e la sua componente massima
, anche se forse sarebbe meglio - al pari della disuguaglianza che hai scritto nella parte terminale del messaggio - esprimerla in altro modo: in generale, la condizione per lo scivolamento - come saprai - è data dalla relazione
, quindi in questo caso sarà
. Di fatto, tu hai considerato soltanto la condizione affinché la matita non scivoli "all'indietro" (se cade "in avanti"), tuttavia è necessario valutare anche il caso in cui la matita scivoli "all'indietro" (e non "in avanti", ovviamente): i due casi, uniti insieme, sono condensati nella relazione
, che porta alla disuguaglianza
. Mi sembra lapalissiano - lo hai esposto correttamente - che, se
, cioè se
(il coefficiente d'attrito supera il valore critico, che ti viene richiesto di calcolare), allora la matita non scivolerà "all'indietro" (può scivolare "in avanti"); di contro, se
, cioè se
, allora la matita può scivolare "all'indietro". Come hai giustamente notato (benché l'espressione di
sia errata), la disequazione precedentemente enunciata è impossibile da risolvere canonicamente, in quanto prevedrebbe di definire due incognite con un'unica diseguaglianza. Il tentativo di studiare separatamente
e
, per confrontare il loro rapporto con un coefficiente d'attrito che si attagli alla situazione fisica in esame, è una buona intuizione, ma non è sufficiente né corretto ai fini dello svolgimento del problema. I valori trovati sono sbagliati, tuttavia - ragionando in tal maniera - hai centrato quella "determinata importante condizione cruciale per la determinazione degli intervalli in cui l'angolo può variare perché [la matita] scivoli all'indietro o in avanti" di cui parlavo nel messaggio precedente: il segno dell'accelerazione orizzontale del centro di massa, e quindi anche quello della forza d'attrito, cambia durante il moto; se la matita non scivola durante questa prima fase, allora può scivolare solo "in avanti", cioè nella direzione della caduta.
Ed ecco che si arriva al "sugo di tutta la storia", cioè alla questione di quella funzione
)
che tu dici di non aver affrontato. In realtà, è proprio lo strumento attraverso il quale è possibile riformulare la condizione di scivolamento, dunque risolvere quella disuguaglianza (che necessita di essere leggermente - ma in maniera decisiva - modificata, come ho esplicato prima) che a buon ragione giudicavi impossibile. Infatti, è possibile scrivere
, cioè il valore assoluto del rapporto tra
e
, entrambi dipendenti dall'angolo
, come una funzione
del summenzionato angolo. Puoi studiare
secondo i classici passaggi richiesti dallo svolgimento di uno studio di funzione, cioè dominio (la funzione, ovviamente, non è definita su tutto
), positività e negatività, zeri della funzione, punti estremanti, ecc..., tenendo ovviamente conto del fatto che si tratti di una funzione valore assoluto, e che - pertanto - necessiti di essere divisa in due rami: qualora tu riesca, sarebbe opportuno che inviassi un abbozzo del grafico della funzione, anche realizzato attraverso una calcolatrice grafica. Attraverso questo metodo, è possibile calcolare gli intervalli in cui l'angolo può variare perché possa scivolare "all'indietro" e quelli in cui l'angolo è compreso perché possa scivolare "in avanti", nonché il valore critico
di
; puoi, inoltre, calcolare il
range in cui la matita non può iniziare a scivolare, i cui estremi costituiscono - ovviamente - valori dell'angolo
in corrispondenza dei quali
: il calcolo è complesso, e richiederebbe l'impiego delle formule parametriche di seno e coseno e l'utilizzo del metodo di Cardano per le quartiche, perciò sarebbe più conveniente eseguirlo attraverso una calcolatrice grafica (Geogebra
et similia). Per il momento, ritengo opportuno fermarsi a questo punto. Quando saranno soddisfatte le richieste di cui sopra, procederemo con calma alla restante parte del problema, che dunque affronteremo in un secondo momento data la lunghezza dello svolgimento. Malgrado ciò, data la tua domanda finale, voglio introdurti al nocciolo della questione che intesse la seconda parte dell'esercizio: vi è una particolare condizione, legata al centro di massa e alla punta della matita, per cui si otterrà una disuguaglianza del tipo
(e, di conseguenza,
), tale per cui si renderà necessario confrontarsi con
ma non con
. A risentirci, non mollare!
