Salve. Premetto di essere nuovo all'interno di questo Forum (ho effettuato l'iscrizione soltanto nel pomeriggio di ieri), pertanto non so bene come funzionino qui i meccanismi. Mi sono imbattuto, alcune ore fa, nella risoluzione di tale problema, essendo l'ultimo in termini di pubblicazione; e, dal momento che non vedo alcuna risposta a questo interessante caso teorico, decido di pubblicarne una mia ipotesi di risoluzione.
Il caso da esaminare è quello relativo alla presenza di una forza di risucchio del condensatore, in grado di succhiare al suo interno la lastra di dielettrico.
Si studi quindi la condizione, come nel testo, per cui il dielettrico si trova in parte fuori, in parte dentro al condensatore; e si supponga, inoltre, che la lastra riempia tutto lo spazio
tra le armature. Benché le cariche di polarizzazione non compaiano nei termini della capacità di un condensatore con dielettrico, esse possiedono una propria specifica importanza: le cariche
di polarizzazione indotte nel dielettrico vengono attratte dalle cariche
libere allocate sull'armatura positiva; allo stesso modo, le cariche
di polarizzazione indotte nel dielettrico vengono attratte dalle cariche
libere allocate sull'armatura negativa. In totale è quindi presente una forza che tende a portare il dielettrico dentro la struttura del condensatore. Si scelga l'asse
, positivo verso l'alto o verso destra (a seconda di come sia posizionato il condensatore), come sistema di riferimento per determinare le varie posizioni. Il dielettrico risulta inserito di un tratto
, che indica dunque il grado di inserzione della piastra dentro il condensatore. Indicata con
la lunghezza delle armature (ossia il lato dei piatti piani e paralleli di forma quadrata che compongono il condensatore), la parte ancora vuota che non viene riempita dal dielettrico è pari a
. Si prenda in considerazione anche l'altra dimensione dell'armatura, lo spessore, che si indicherà con la lettera
: in tal modo, la superficie delle armature risulta
. La struttura è analoga al caso di due capacità in parallelo: la configurazione in esame è assimilabile a quella di due condensatori quasi avulsi; uno, riempito pienamente di dielettrico, avente capacità
, l'altro, nel vuoto, avente capacità
. Dunque:
è la capacità della porzione di condensatore contenente dielettrico,
è la capacità della porzione di condensatore nel vuoto. La capacità
di una configurazione in parallelo è data dalla somma delle singole capacità dei condensatori collegati in tale situazione. Pertanto:
.
In particolare:
, dove
;
, dove
 b)
. Sarà utile ricordare che
è la costante dielettrica nel vuoto.
Dunque, si ha:
;
 b}{d})
.
Effettuando i calcoli:
 = \tfrac{\epsilon_0 \epsilon x b }{d} + \tfrac{\epsilon_0 (L-x) b}{d}
)
 = \tfrac{\epsilon_0 b}{d}[\epsilon x + (L-x)] = \tfrac{\epsilon_0 b}{d}[\epsilon x + L-x] = \tfrac{\epsilon_0 b}{d} [L + x (\epsilon -1)] )
Quindi:
 = \tfrac{\epsilon_0 b}{d} [L + x (\epsilon -1)])
)
Com'è possibile notare dalla formula, l'inserimento di
porta, in positivo, ad un aumento della capacità: la capacità
)
aumenta all'aumentare di
; pertanto, più il dielettrico è inserito, maggiore è la capacità del condensatore. Infatti:
1) se
, allora
 = \tfrac{\epsilon_0 b}{d} [L + 0] )
. Se la lastra è completamente fuori (
), allora si ritrova la capacità di un condensatore vuoto.
2) se
, allora
 = \tfrac{\epsilon_0 b}{d} [L + L (\epsilon -1)])
=
 = \tfrac{\epsilon_0 b}{d} [\epsilon L])
. Se la lastra è pienamente dentro il condensatore (
), allora si ritrova la capacità di un condensatore pieno.
Poiché le armature aventi lunghezza
hanno forma quadrata (quindi, tutte le dimensioni hanno pari lunghezza), allora:
. Sostituendo in (1), si ha:
 = \tfrac{\epsilon_0 L}{d} [L + x (\epsilon -1)])
, da cui:
 = \tfrac{\epsilon_0 L^2}{d} [1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)])
)
Si noti che
, ovvero la capacità del condensatore all'inizio, quando non è ancora stato inserito alcun dielettrico di costante
e il condensatore è assimilabile a una configurazione vuota (
), vale:
, con
per le considerazioni precedenti. Sostituendo:
.
)
Pertanto, è possibile scrivere la
)
come:
 = C_0 [1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)])
)
a) Supponendo di staccare il condensatore dal generatore di tensione, dopo che il primo si è caricato e ha raggiunto una d.d.p. pari a quella generata dalla batteria (
), e dopo che si è raggiunta una situazione di regime per cui non passa più corrente, il bipolo, rimanendo in circuito aperto senza che venga modificata alcuna delle sue parti, farà sì che la tensione ai capi del condensatore non vari (
) e, soprattutto, che il condensatore mantenga la sua carica
. Con l'inserimento del dielettrico all'interno del condensatore, a causa dell'immersione di quest'ultimo in un solido con costante dielettrica relativa
, la capacità aumenterà, facendo diminuire la tensione finale
. Poiché la carica
si conserva:
, con
carica iniziale pari a
, e
carica finale pari a
.
Si avrà pertanto, assumendo la carica
costante, in funzione dei parametri forniti:
)
, relazione che sarà utile successivamente.
Si vuole esprimere la forza di risucchio del condensatore come:
)
, dove
è il gradiente di
)
La presenza di un'energia potenziale elettrica è dovuta alle cariche opposte, affacciate a distanza
, presenti sul condensatore. Per calcolare tale energia immagazzinata si supponga di partire da un condensatore sul quale sia già presente una certa carica
sull'armatura positiva e una
su quella negativa, e di continuare il processo di carica. Sul condensatore si è già portata la carica
, quindi si continui a caricarlo trasportando la carica infinitesima
positiva, dall'armatura negativa a quella positiva. Per effettuare ciò si deve compiere un lavoro esterno contro le forze del campo: di certo non avverrà mai, in modo spontaneo, il passaggio di una carica positiva da una distribuzione negativa verso una positiva. Il lavoro elementare per lo spostamento di
è:
)
, con
tensione iniziale e
tensione finale; si ricordi che la capacità
è il rapporto tra carica allocata e differenza di potenziale tra le due armature:
. Da quest'ultima è possibile ricavare la differenza di potenziale:
 = \tfrac{q}{C})
, che si andrà a sostituire nell'espressione di
, da cui:
. Per ottenere il lavoro totale
compiuto dalla piastra, che in termini differenziali corrisponde anche all'energia elettrostatica
immagazzinata sul condensatore cambiata di segno, si deve integrare l'espressione precedente tra gli estremi
, carica iniziale, e
, carica finale trasportata. Per cui:
 = L = \int_{}^{}dL_s = \int_{0}^{Q}\tfrac{q}{C} dq = \tfrac{1}{C}\int_{0}^{Q}q dq = \tfrac{1}{C}\tfrac{Q^2}{2}= \tfrac{1}{2}\tfrac{Q^2}{C})
. Dal momento che
è funzione della posizione
:
 = \tfrac{1}{2}\tfrac{Q^2}{C(x)})
)
La carica
non è funzione della posizione
del dielettrico: infatti, inserendo di più o di meno il dielettrico, la carica non cambia (dal momento che essa è libera); al più, ciò che può variare è la sua distribuzione eventuale
. Pertanto, è solo la capacità
al denominatore, a poter variare con il grado d'inserzione: dal momento che
 )
aumenta linearmente (con prima potenza di
) con il grado
d'inserzione, al denominatore di
 )
si avrà un aumento di capacità lineare con
. Si ricordi che la naturale tendenza, in presenza di un'energia potenziale, è quella che porta a diminuire il più possibile - fino a minimizzarla - tale energia.
Pertanto, la forza
)
nel condensatore nasce nella direzione che porta alla diminuzione e alla minimizzazione dell'energia potenziale elettrica, quindi attira il dielettrico nella sua struttura: più la lastra di dielettrico penetra nel condensatore, più aumenta la capacità e diminuisce l'energia potenziale. Inoltre, bisogna notare che la forza di risucchio
nasce solo nella direzione
: anche se il dielettrico non riempie tutto lo spazio e può essere inserito variabilmente sul fondo o in alto, la capacità
non cambia, dunque non varia nemmeno l'energia potenziale
; se non vi sono variazioni di energia lungo tali direzioni, non si svilupperanno componenti di forza
o
. La forza
è diretta soltanto lungo l'asse
perché proprio in tale direzione vi è una variazione di energia potenziale, che diminuisce come un'iperbole equilatera andando a 0 come
 = \tfrac{1}{x+a})
nell'intervallo
: dal momento che la forza
varia solo lungo
, si può utilizzare la derivata totale (e non quella parziale) per esprimere il gradiente
)
. Pertanto:
. Poiché la batteria è stata scollegata, il lavoro
da essa compiuto è pari a
. Dunque, dal momento che il contributo di lavoro
della batteria è dato dalla somma del contributo di lavoro
della piastra e dell'elemento
di energia del condensatore, si ha:
. Con
, il lavoro
compiuto dalla piastra sarà:
)
. Dato ciò, si ha:
}{dx})
}\bigg] = -\frac{1}{2}Q^2\frac{d }{dx}\frac{1}{C(x)} = -\frac{1}{2} Q^2 \bigg(-\frac{1}{C^2(x)}\bigg)\frac{d }{dx}C(x))
} \frac{dC(x)}{dx})
} \frac{dC(x)}{dx})
Si calcoli
}{dx})
, ossia la derivata di
:
}{dx} = \frac{d }{dx}C_0 [1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)] = C_0 \frac{d }{dx}[1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)] = C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L})
}{dx} = C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L})
(
) Sostituendo:
} C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L})
)
Sostituendo le espressioni di
)
e
)
in
, si ha:
^2}{C_0^2 [1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)]^2} C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L})
 (\epsilon -1)]^2} C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L} = \frac{1}{2}\frac{V^2}{[1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)]^2} C_0 \frac{(\epsilon -1)}{L})
.
Sostituendo l'espressione di
in
, si ha:
 (\epsilon -1)]^2} \tfrac{\epsilon_0 L^2}{d}\frac{(\epsilon -1)}{L})
. Semplificando
:
}{[1 + (\tfrac{x}{L}) (\epsilon -1)]^2})
, che è l'espressione finale di
nel caso a).
Confermata anche l'analisi dimensionale:
, unità di misura della forza.
Com'è possibile notare, la forza
di risucchio del condensatore è positiva, infatti è attrattiva. Si noti che, per
, quando il dielettrico è completamente inserito,
dovrebbe annullarsi, pertanto ci si aspetta che
. Invece:
}{[1 + (\tfrac{L}{L}) (\epsilon -1)]^2} = \frac{1}{2}\epsilon_0 V^2\tfrac{L}{d}\frac{(\epsilon -1)}{[1 + (\epsilon -1)]^2})
}{\epsilon^2} > 0)
Dunque, ciò che ci si auspicava non è avvenuto: ciò deriva dall'aver trascurato tutti gli effetti di bordo del condensatore.
b) Nell'ipotesi che le armature non vengano sconnesse dalla batteria, quest'ultima manterrà costante la differenza di potenziale
ai capi del condensatore: si avrà quindi un processo a potenziale costante:
.
L'espressione della capacità
è analoga a quella calcolata nel punto precedente, in corrispondenza di
:
, con
.
Questa volta, però, dal momento che è la tensione
ad essere costante, si esprimerà l'energia elettrostatica
in funzione non della carica
, bensì della ddp
. Sfruttando la relazione
, e sostituendola nell'espressione di
calcolata nel punto precedente in corrispondenza di
)
, si ha:
 = \tfrac{1}{2}\tfrac{Q^2}{C(x)} = \frac{1}{2}\frac{C(x)^2 V^2}{C(x)} \to U_e_l(x)= \frac{1}{2}V^2 C(x))
. Il contributo differenziale di energia immagazzinata è dunque:
} = \frac{1}{2}V^2{dC(x)})
.
La batteria compie un lavoro
, dove
, pertanto:
.
Poiché il contributo di lavoro
della batteria è dato dalla somma del contributo di lavoro
della piastra e dell'elemento
di energia del condensatore, si ha:
. Sostituendo
e
, si ha:
Analogamente al caso precedente, si ha:
, ma stavolta, cambiando
, cambierà anche
:
}{dx})
\bigg] = \frac{1}{2} V^2 \frac{dC(x)}{dx})
}{dx})
, ossia la derivata di
, è uguale a quella del caso precedente (cfr. (
)):
, con
)
.
Sostituendo nella precedente relazione:
}{L})
. Semplificando
, si ottiene:
}})
, che è l'espressione finale di
nel caso b).
