Torros ha scritto: ↑28 set 2023, 21:59
Scusa se disturbo ancora, ma credo di aver notato un'imprecisione nello sviluppo della funzione. Credo che sarebbe più opportuno definire la questione in questo modo:
,
. In tal modo lo sviluppo di
calcolato nel punto
diventa:
E a questo punto, con un semplice passaggio algebrico:
Non riesco a trovarmi con la tua definizione di
e
. Mi sembra invece che in tal modo si possa ovviare al problema. Fammi sapere se puoi. Grazie ancora
Buona osservazione. Ho sempre piacere a rispondere a obiezioni mature e critiche come questa.
Il mio sviluppo originario, con annesse definizioni di
e
, è tuttavia corretto e non include imprecisioni. Fornisco una motivazione che corrobori l'esattezza del mio ragionamento richiamando alcune nozioni di Fisica e Analisi Matematica.
Torros ha scritto: ↑28 set 2023, 21:59
Credo che sarebbe più opportuno definire la questione in questo modo:
,
.
L'obiettivo in esame è il calcolo della Lagrangiana
in corrispondenza del punto
, ottenuta da uno sviluppo di Taylor della Lagrangiana di partenza
calcolata nel punto
, al punto finale
.
Le derivate in uno sviluppo polinomiale di Taylor sono
valutate nel
punto di riferimento,
non nel
punto variabile: pertanto, le
definizioni di "punto di riferimento" e "punto variabile" sono tali per cui il primo (punto di riferimento) è quello in cui si calcola la derivata, mentre il secondo (punto variabile) non lo è.
Poiché, come preannunciato all'inizio della trattazione della Lagrangiana di una particella libera relativistica, quest'ultima si presenta nella forma
in un
sistema di riferimento inerziale (
unprimed frame)
, il punto di riferimento (coincidente - come poc'anzi ricordato - con il punto
di valutazione) sarà
, mentre il punto variabile sarà
, con
funzione di
. Pertanto, le definizioni corrette nel sistema di riferimento
inerziale sono
e
, come risulta dal mio procedimento.
Si noti come vi sia la possibilità di cambiare riferimento ed eseguire il calcolo nel
sistema di riferimento non inerziale (
primed frame)
: in questo caso,
sarebbe il punto di riferimento (dunque, di valutazione) e
quello dislocato, come hai scritto tu. Queste definizioni, al pari di quelle sopra riportate, sono giuste, purché si applichi
consistentemente la scelta del sistema di riferimento precedentemente compiuta: il punto di riferimento, dunque, è non arbitrario, bensì determinato dal particolare riferimento adottato.
Perciò, le definizioni
e
sono
inconsistenti rispetto alla scelta preliminare del sistema di riferimento inerziale
, dunque non sono corrette qualora i calcoli vengano svolti - come in questo caso - rispetto a quest'ultimo. Infatti, tali definizioni da te proposte (in luogo, invece, di quelle inverse) conducono ad un risultato per
Torros ha scritto: ↑28 set 2023, 21:59
che differisce da quello da me calcolato secondo l'equazione
a causa della discrepanza tra i due termini comprendenti la derivata prima:
nel tuo caso,
nel mio. Proprio tale discordanza tra sistema di riferimento scelto nei calcoli (in questo caso, inerziale) e presunte definizioni ad esso afferenti (
e
, anziché
e
) ha comportato l'insorgenza di questo piccolo inconveniente. Difatti, nella Lagrangiana
dev'essere presente il termine di derivata prima della Lagrangiana calcolata nel punto di riferimento (e di valutazione) del sistema di riferimento scelto: nella mia equazione, compare correttamente un termine di derivata di Lagrangiana calcolata in
, in quanto proprio
è il punto di riferimento decretato dal sistema di riferimento inerziale
inizialmente introdotto; nella tua equazione, invece, compare un termine di derivata di Lagrangiana calcolata in
, che è punto di riferimento
non per il sistema di riferimento inerziale, ma rispetto al sistema di riferimento del laboratorio
. In verità, il tuo risultato finale non evidenzia veramente un errore (soltanto un'imprecisione che fa pochissima, se non nessuna, differenza nei riguardi dell'oggetto di discussione iniziale), dal momento che la differenza tra
e
è una piccola quantità del secondo ordine, analoga a un'espressione del tipo
. Esso, tuttavia, dimostra e suffraga come, invertendo le definizioni di
e
, siano stati scambiati anche i corrispondenti sistemi di riferimento. Il problema, allora, risiede nel fatto che, cambiando un sistema di riferimento, bisogni ricominciare l'intera analisi dall'inizio: non è possibile invertire le definizioni di
e
in un'unica equazione, ottenuta con una serie di approssimazioni che
presupponevano l'utilizzo del sistema di riferimento inerziale
.
Torros ha scritto: ↑28 set 2023, 21:59
Mi sembra invece che in tal modo si possa ovviare al problema.
Come avrai potuto capire, dunque, il tuo metodo non può ovviare ad un problema non definibile nei termini in cui lo hai concepito e inteso. L'errore più frequente (commesso anche da te), rivelantesi poi cruciale nella continuazione del procedimento, è assumere - facendoli coincidere - il
punto in cui si vuole calcolare l'espansione di Taylor (e, dunque, la Lagrangiana) come
punto di valutazione della derivata nella serie di Taylor.