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Un cilindro con asse verticale di raggio r e altezza piccola è fissato su un piano perfettamente liscio. Un filo inestensibile di massa trascurabile è fissato con un estremo ad un punto della sua superficie laterale, avvolto esattamente k volte al cilindro e con l'estremo libero connesso ad un blocco poggiato sul piano liscio (fare la figura in cui si visualizza la situazione dall'alto). Al blocco viene impressa una velocità v diretta verso l'esterno come il raggio vettore . Si chiede il tempo totale che il blocco impiega a svolgere e riavvolgere completamente il filo al cilindro.
(Si consiglia di indicare con l la lunghezza corrente del filo svolto, con la velocità angolare con cui si svolge la parte avvolta e di esprimere in funzione di l)

La parte di filo svolta inizialmente ha lunghezza nulla?

Certamente!

Scelgo un sistema di cordinate polari con l'origine nel centro del cilindro e l'angolo crescente nel verso in cui si muove il blocco. La posizione del blocco, mentre il filo si sta svolgendo, vale allora:

dove con indico la lunghezza della parte di filo svolta come suggerito. Vale inoltre:
, da cui e
Derivando per ricavare la velocità ottengo:
.
Poichè la forza netta agente sul blocco è data dalla tensione del filo, che ha direzione perpendicolare alla velocità (), il modulo della velocità si conserva:
.
Sostituendo l'espressione della velocità angolare precedentemente trovata:

Integrando fra ed (lunghezza totale del filo) si ricava il tempo di srotolamento:

A questo punto il blocco descrive una semicirconferenza di raggio e centrata nel punto in cui il filo è fissato al cilindro, in un tempo
Infine il filo si riarrotola attorno al cilindro: la situazione è simmetrica a quella della fase di srotolamento.



Quindi

Sei stato perfetto e, secondo me, molto veloce. Perchè il tuo procedimento è complesso e calcoloso come quello del promotore del testo. Io avevo trovato una soluzione più semplice osservando cheè costante. Siccome v=ds/dt integrando si trova che lo spazio percorso dal blocco è proporzionale al quadrato della lunghezza svolta da cui è banale trovare il tempo di avvolgimento/svolgimento cui va aggiunta la semicirconferenza. Vai vai vai con il 217!