Aleksej99 ha scritto: ↑29 mar 2018, 9:34
Usando la notazione del mio precedente post ottengo imponendo la legge di Gauss che
Consideriamo la metà superiore del cilindro; per la legge di Gauss il campo elettrico sarà diretto verso il centro del cilindro .
Imponiamo la legge dei gas perfetti ad un disco di altezza
;
e dunque
Imponiamo ora dunque sempre sullo stesso disco l'equilibrio idrostatico ;
e dunque
Ricaviamo dunque l'equazione differenziale
Per la prima parte della soluzione mi appoggio a quella di Aleksej. L'unico errore nel suo procedimento è quello di non aver considerato il segno negativo della carica degli elettroni; finchè, però, si considera il modulo del campo elettrico e non il suo verso, non c'è alcuna differenza, quindi me ne fregherò.
Andiamo quindi a risolvere l'equazione differenziale.
Ora devo utilizzare il solito trucco della derivata di
, che è uguale a
. Sostituendo nell'equazione:
Chiamo
Integrando rispetto a
ottengo:
Con qualche manipolazione algebrica:
Noto che posso integrare direttamente, perchè a destra ho il noto differenziale dell'arcotangente
Al posto di trascinarmi dietro
, noto che per
,
(per questioni di simmetria il campo elettrico è nullo al centro del tubo). Sostituendo nell'equazione trovo che
.
.
Ricordando che
->
Ora devo trovare il valore di
. So che l'integrale da
a
di
(moltiplicato per
) deve dare il numero di particelle nel cilindro, cioè
.
L'integrale definito viene:
Si tratta di un'equazione trascendente, non risolvibile(credo
) con metodi analitici ma la cui soluzione può essere comunque trovata con metodi numerici. Adesso non ho tempo/voglia di trovarla quindi non userò il valore numerico di
.
Ora gli altri punti
Come già detto, per ragioni di simmetria il campo elettrico al centro del cilindro è 0.
Il valore di
al centro, invece, è
, dove
è la cosa bruttissima ricavata prima.
La densità media è data semplicemente da
ed è evidente che dipende solo dal volume e non da carica, temperatura o costanti varie.
Per quanto riguarda l'interpretazione intuitiva: come si può vedere dal grafico di
, al centro del tubo la densità elettronica sarà minore(molto minore) della densità alle estremità del cilindro. E' la stessa cosa che accade in un filo conduttore: la carica si concentra alle estremità o in altri punti acuminati.
(Probabilmente ho fatto molti errori di battitura e mi sarò dimenticato qualche costante
)