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Hint:
Il sistema è un gas ideale all'equilibrio termico
Va usata l'equazione dell'equilibrio idrostatico
Vale la legge di Gauss
Vi consiglio di usare la densitá volumica di numero o di mole

Io posto il mio procedimento che mi sembra corrispondere agli hint di Ruben :

Usando la notazione del mio precedente post ottengo imponendo la legge di Gauss che
Consideriamo la metà superiore del cilindro; per la legge di Gauss il campo elettrico sarà diretto verso il centro del cilindro .
Imponiamo la legge dei gas perfetti ad un disco di altezza ;
e dunque
Imponiamo ora dunque sempre sullo stesso disco l'equilibrio idrostatico ;
e dunque
Ricaviamo dunque l'equazione differenziale ...
Chiedo conferma del procedimento ...

Aleksej è quello che ho fatto io, solo che ho usato gauss per scrivere tutto in termini della densità e non del campo.. stasera se riesco posto il procedimento

Il procedimento di Aleksej é giusto
Continuate così:)

non per mettere i bastoni tra le ruote ma voglio porvi una questione su cui riflettere; chi vi dice che potete usare la legge dei gas perfetti? essa si ricava nell'ipotesi che le particelle costituenti il gas non interagiscano tra loro, e questo non è il caso.

Analizzando opportunamente la traccia del problema si può dimostrare (facendo un'opportuna approssimazione in base ai dati forniti) che, all'equilibrio termico, vale localmente la legge dei gas perfetti.

Credo si possa usare solo localmente, come ho fatto io, in virtù del fatto che le particelle sono influenzate da un campo elettrico esterno... Inoltre c'è l'ipotesi dell'equilibrio termico...
(Ho visto il messaggio di Ruben mentre scrivevo il mio, lo mando comunque)

che sia all'equilibrio termico è una condizione necessaria ma non spiega la questione, si vead per esempio i gas di van der Waals sono all'equilibrio termico ma hanno un equazione di stato che non è quella classica; il punto fondamentale, come dice Aleksej99, è che preso un volumetto di gas l'interazione di un elettrone coi primi vicini è trascurabile rispetto all'interazione col campo medio generato dal resto del gas; l'ipotesi fondamentale è che siamo a densità tali da poter fare questa media ma non troppo alte da sentire effetti quantisici.
mi sembrava opportuno far notare qesto punto perchè non è così banale come possa sembrare.

consideriamo uno strato di spessore infinitesimo a distanza dal centro del cilindro. Sia e rispettivamente la pressione e la densità di carica volumica in funzione di . Si ha da cui . All'equilibrio si ha da cui . A questo punto usiamo il teorema di gauss in forma locale il quale afferma che . Sostituendo otteniamo . Derivando entrambi i membri otteniamo

@lance
Non ho capito il perché della prima eq.
E soprattutto hai scritto cose quasi giuste ma cje non ti fanno risolvete il problema
Prova a scrivere un eq.differenziale con il campo elettrico come incognita