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Vorrei dimostrare che l'effetto della forza peso (costante) sul sistema sia quello di spostare il centro di oscillazione ma non modificare il moto. Ho scelto un sistema di riferimento diretto verso il basso e con origine nella posizione di equilibrio raggiunta dalla molla dopo aver appeso il corpo di massa m. Dopo aver idealmente esteso la molla ed averla lasciata le forze agenti sono la forza peso concorde con il verso dell'asse e il richiamo della molla discorde. Nella parte evidenziata in arancione dovrei ottenere un'eliminazione dei termini "mg" invece che una somma per ottenere la forma -kz=ma. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

L'errore sta nella tua scrittura della forza elastica.
Quando la massa si trova nella posizione la molla è allungata di , non di . Di conseguenza la forza è . Sostituendo nel principio della dinamica:

che è esattamente quello che ti aspettavi