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Assumendo che l'indice di rifrazione dell'acqua sia e che le gocce siano perfettamente sferiche, trova la posizione dell'ennesimo arcobaleno rispetto alla linea che congiunge il Sole e l'osservatore.

Hint:
Puoi aiutarti trovando le posizioni del primo, del secondo e del terzo arcobaleno per poi generalizzare.

Vorrei sapere se il primario, secondario ecc sono dovuti alle riflessioni successive all'interno della goccia: la luce del sole viene rifratta dentro la goccia, c'è una riflessione che in parte provoca un arcobaleno con la parte rifratta nell'aria e in parte provocherà un secondo arcobaleno con la parte riflessa all'interno della goccia? Non so se capisco

Per guido: considera quante volte può essere riflessa la luce nella goccia sferica. Il primo arcobaleno è formato dalla componente di luce riflessa solo una volta all'interno della goccia, il secondo da quella riflessa due volte e così via. Spero di essermi spiegato

Ti ringrazio da scuola: più o meno credo che aver capito. Nel pomeriggio ci ripenserò.

Non essendo a scuola provo la mia soluzione che sarebbe, detti i ed r gli angoli di incidenza e rifrazione

Per
Poi ho visto altre cose. Per i=70,1° r=45° per cui le riflessioni rifrazioni avvengono ai vertici del quadrato inscritto nella goccia e dunque mi pare che ci sia un ricorso periodico? sarebbe bellino...

Essendo abbastanza lungo il problema, parto già dal caso n-esimo. Probabilmente, quando finirò di scrivere la soluzione, qualcun'altro avrà già risolto il problema è forse avranno unificato la relatività e la fisica quantistica

Chiamiamo la metà dell'angolo che ci interessa. Facendo una figura della situazione, in cui il raggio di luce viene rifatto nella goccia e viene riflesso (poiché l'angolo è maggiore di quello limite) N volte, notiamo per prima cosa che tutti gli angoli, rifatto e angoli di riflessione all'interno della goccia, sono uguali. Chiamiamo questi angoli . Possiamo esprimere l'angolo incidente come:



Per snell abbiamo:



Isoliamo



ovviamente può variare, fintanto che sia maggiore dell'angolo limite. L'arcobaleno si forma nel punto in cui c'è maggiore concentrazione di luce riflessa, ovvero per l'angolo che rende massimo . Questo perché in quel punto la funzione ha pendenza nulla, e saranno maggiori i valori di che portano a quel dato (intorno) di
Deriviamo ponendo



Ottenendo che che da massimo è:



Calcoliamo quindi dalla formuletta precedente è sostituiamo nell' equazione ricavata prima.
In conclusione le due formule che ci danno sono:






Ci sono un sacco di considerazioni da fare, ma per il vostro piacere cerco di limitarmi alla soluzione.

Meh con Flaffo ad un certo punto non c'è più gusto
Tutto giusto a te la staffetta.

Per guido: gli angoli rispettivamente per il primo, il secondo e il terzo arcobaleno sono 42°, 51° e 138°. Con il primo ci sei mentre con gli altri un po' meno...

Flaffo ha scritto: Ci sono un sacco di considerazioni da fare, ma per il vostro piacere cerco di limitarmi alla soluzione.

Vero, ne riporto alcune proposte dall'autore in caso si volesse continuare la discussione o anche solo per approfondimento personale:
1 Qual'è l'ordine dei colori nel primo arcobaleno? E nel secondo?
2 Quanto è 'largo' l'arcobaleno?
3 Il terzo arcobaleno risulterà visibile in condizioni normali?
4 Come varia l'intensità degli arcobaleni al crescere del numero n di riflessioni interne alla goccia?

Guido aveva poi parlato di periodicità, idea che in un certo senso è intrinsecamente presente nel problema... Basti pensare che le posizioni angolari degli n arcobaleni devono essere tutte calcolate mod, e già la malefica TDN compare anche in fisica

Le posizioni dei vari arcobaleni possono essere disegnate su una circonferenza che ha l'osservatore come centro. Dopo aver risposto alla domanda sulla 'larghezza' degli arcobaleni potrebbe essere interessante provare a calcolare qual'è il primo arcobaleno che si sovrappone ad un altro. Non so quanto sia difficile né se sia anche solo possibile, ma penso che anche tentare sia istruttivo...


P.S.: il problema è uno dei 'Weekly Problems' proposti all'Università di Harvard dal famigerato David Morin... Cercandoli potreste trovare testi (e credo anche soluzioni) di alcuni problemi interessanti tra cui anche questo

Per la precisione ho trovato su Google (giacchè mi sembrava strano di aver sbagliato i conti)- teoria fisica dell'arcobaleno, Lorenzo Roi - e dà la mia stessa soluzione! Perchè per es. dici che il 2 non è corretto?

Per guido: in verità ho detto che ci avevi preso un po' meno, non che avevi proprio sbagliato, infatti l'errore nel secondo è solo di qualche grado... Comunque sono andato a leggere il documento di questo Lorenzo Roi, ma come puoi vedere tu stesso l'equazione 31 restituisce 51° come angolo del secondo arcobaleno, mentre tu dai 56°. Anche considerando la dispersione cromatica questo angolo è troppo grande (il massimo si avrebbe per il violetto a 54° mi sembra).

Comunque tra le famose riflessioni di Morin c'era anche spiegare perché si forma la banda di Alessandro, me ne sono ricordato leggendo il documento di Roi

Mi dispiace polemizzare ma Roi indica la mia stessa formula e siccome per i=60 risulta r=40,6 se sostituisci i valori risulta addirittura Questo dimostra che non avevo visto prima il lavoro di Roi. Ecco perchè sostengo che la mia soluzione era corretta e precedeva quella accettata. Come è successo nel salescende e successe nella giostra (sono MIE opinioni, ovviamente). Quanto alle numerose considerazioni che si possono fare sul problema ne avevo proposta anch'io una (il quadrato) su cui non ti sei espresso ma va bene così.

Ho imparato una cosa. In questi pochi mesi in cui sono stato registrato non ho mai discriminato fra i problemi da risolvere nel forum. D'ora in poi starò attento a quelli che è per me opportuno tentare di risolvere nel forum e quelli che invece è meglio risolva in privato. Tanto per la preparazione al test sns è lo stesso.