Problema interessante sulla dispersione dei gas

[PietroMazz]

Supponendo che un litro di un gas leggero e non degradabile sia stato disperso nell’atmosfera e che sia trascorso un tempo sufficientemente lungo da poter ritenere le sue molecole diffuse ovunque nell’atmosfera stessa, si dia una stima del numero di queste molecole che mediamente inaliamo in una singola respirazione.
Dati:
numero di Avogadro *10^23 moli^-1

Qualcuno sarebbe in grado di dare una stima precisa?
La mia unica idea era quella di stimare il volume dell'atmosfera e fare una proporzione.

[sall96]

Attento che non dai pressione e temperatura non si può fare come stima

[PietroMazz]

Mi spiace... il testo non fornisce altro

[guido]

Si può prendere le condizioni standard 20°C e 1 atm.?

[PietroMazz]

Suppongo di sì... Ma come ho detto, il testo non da altre informazioni

[guido]

Supponiamo che l'atmosfera sia alta 200 km sulla superficie terrestre di raggio 6,3 milioni di metri. Facendo i conti se non li ho sbagliati mi verrebbe un volume dell'atmosfera di circa litri. Il volume molare del gas considerato perfetto è di 22,4 litri e contiene molecole. Allora in 1 litro ci stanno molecole e quindi si trova circa 1 molecola per litro di atmosfera. Se con respiro normale inspiriamo 0,5 litri dovremmo assorbire una molecola ogni 2 inspirazioni. Mi rendo conto che sia un pò cialtrone questo conto e non so se contenga qualche errore concettuale di fondo...Però il problema è interessante

[Flaffo]

.

[Flaffo]

Penso sia un po' esagerato dire che l'atmosfera sia spessa 200km.
Per convenzione l'atmosfera termina quando la sua densità ad una data altitudine è uguale a quella del mezzo interplanetario. Però, anche se il limite così definito viene posto a 2000km di altezza sul livello del mare, a noi interessa capire quando sarebbe spessa l'atmosfera se immaginassimo di comprimerla così che abbia densità uniforme..
Per fare questo dobbiamo stimare la densità dell'atmosfera ad una data altitudine e, se sufficientemente bassa, possiamo porre il limite che ci interessa.
Assumiamo che la temperatura nella troposfera () diminuisca a ritmo costante . si può ricavare e, in prima approssimazione, possiamo stimarlo a

A partire dall'equazione di stato dei gas perfetti, indicando con , e rispettivamente la pressione, la densità (moli per volume) e la temperatura al livello del mare e con , e rispettivamente la pressione, la densità (moli per volume) e la temperatura ad una quota generica , abbiamo che:

La differenza infinitesimale di pressione è data da:

Dove è la massa di uno strato di aria di spessore e area .
Eseguendo i calcoli si ottiene:

Dove M è la massa molare dell'aria che si può ottenere come media pesata tra azoto e ossigeno molecolari.
Unendo le due equazioni e integrando si ottiene, infine:

Sostituendo per i valori numerici:

Questa equazione è valida solo nella troposfera. In effetti, la tropopausa, che separa la fine della troposfera con l'inizio della stratosfera, è individuata dell'inversione dell'andamento della temperatura: da qui in poi, la temperatura inizia ad aumentare fino al limite della stratosfera a causa della scissione di O3 in O2 e O dovuta a raggi UV altamente energetici.. ecc.
Notiamo che nella stratosfera, quindi, la diminuzione della densità all'aumentare dell'altitudine è molto più brusca rispetto a quella nella troposfera, grazie all'ell'effetto combinato dell'aumentare della temperatura e alla diminuzione della pressione (prima la temperatura scendeva e i due effetti quasi si bilanciavano.
In modo simile ricaviamo l'andamento della densità nella stratosfera:

Dove è la distanza dal limite superiore della troposfera (10km), e è la rapidità con cui aumenta la temperatura nella stratosfera.
Sostituendo per i valori numerici:


Per ,
Per ,
Per ,
Per ,
Per ,
Per ,
Vediamo quindi che, approssimativamente, lo spessore che avrebbe l'atmosfera se venisse compressa per portarla a densità costante sarebbe di circa 10-14km


EDIT:
Per calcolare in maniera più precisa lo spessore dell'atmosfera, possiamo calcolare il numero di moli comprese nella troposfera, sommarle a quelle comprese nella stratosfera per poi calcolare il volume assumendo densià costante .

Moli troposfera:

Approssimando brutalmente si ottiene:

Da cui ricaviamo che le moli di aria presenti nella troposfera sono:


Moli stratosfera:
Procediamo in modo simile per ricondurci all'equazione:

Da cui otteniamo:


Vediamo che nella troposfera ci sono 4 volte più moli che nella stratosfera e, complessivamente, la troposfera conterrà tra il 70% e l' 80% dell'aria presente in tutta l'atmosfera.
Sommando le moli e prendendo , otteniamo uno spessore dell'atmosfera di:


EDIT 2:
Ovviamente bastava dire:

Da cui otteniamo esattamente il risultato precedente. Cosa ci porta a concludere? Le moli di aria comprese negli strati più alti dell'atmosfera sono praticamente trascurabili. Dai calcoli ricaviamo che la troposfera contiene poco meno dell' 80% delle moli di aria in tutta l'atmosfera, mentre la stratosfera poco meno del 20%.

[guido]

Io non sarei stato capace di questa sofisticazione. Su questa base se mi consenti provo a rifare il conto su uno spessore di 12 km per vedere che risultato scappa fuori! (Avevo premesso che avevo fatto qualche cialtroneria..)
Il volume di atmosfera verrebbe uguale a . Siccome nel litro disperso ci sono molecole, ne toccano per ogni litro di aria e quindi, supponendo di inspirare 0,5 litri per ogni respiro normale, si assumerebbero molecole di gas ogni volta che si respira.

[Flaffo]

Certo!