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70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 28 mag 2016, 18:59
da Flaffo
Si vuole lanciare un proiettile all'antipode (punto della superficie terrestre diametralmente opposto al luogo del lancio). Assumiamo che la terra non ruoti attorno al proprio asse. La massima altezza raggiunta dal proiettile è
dove R indica il raggio della terra.
1. Calcolare la velocità iniziale
che il proiettile deve avere e l'angolo al quale deve essere lanciato (rispetto all'orizzontale).
2. Calcolare la velocità minima del proiettile nel suo percorso.
3. Dire se è possibile vedere il proiettile ad occhio nudo quando si trova a distanza massima dalla terra, e stimarne la luminosità (raggio della sfera
).
4. Calcolare il tempo di volo totale del proiettile: da quando viene lanciato, a quando raggiunge l'obiettivo.
Si aggiudica la staffetta chi risolve più punti, o chi fa solo il 4 (jackpot)
Ripetere tutte le misure considerando la rotazione dalla terra
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 2:14
da nace26
Tornato a casa colmo di tristezza per la sconfitta dell'atletico, mi sono cimentato nei primi due punti
... I risultati che mi sono usciti sono però un po' bruttini da vedere, quindi prima di scrivere eventualmente il procedimento (cosa che a quest'ora non avrei comunque intenzione di fare
) ti chiedo se sono sensati:
,
,
.
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 8:33
da Flaffo
I risultati sono sbagliati, pero dimensionalmente ci stiamo
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 10:17
da nace26
Mi è venuto in mente un dubbio: da dove misuri l'altezza? Perché io l'ho presa dal centro della Terra, ma ora che ci penso non era ovvio...
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 10:33
da Flaffo
Eh infatti.. Si misura dalla superficie
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 10:39
da nace26
allora mi viene
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 10:58
da Flaffo
La
e la
sono giuste, però l'angolo no.
1,5 punti per nace26
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 11:16
da arna1998
Confermo i risultati di nace26, ma per l'angolo dico:
che vuol dire
°
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 11:28
da nace26
Metto il procedimento allora
Per le leggi di Keplero la traiettoria è ellittica; per la conservazione dell'energia il modulo della velocità è uguale alla partenza e all'arrivo, per quella del momento angolare lo è anche l'angolo rispetto all'orizzontale. Insomma la situazione è simmetrica rispetto all'asse della congiungente i due punti agli antipodi, quindi anche il secondo fuoco giace su questo asse.
Detta
la distanza del secondo fuoco dal centro della terra e
il semiasse maggiore dell'ellisse, deve verificarsi
, risolvendo trovo
e
.
Ora la conservazione dell'energia si scrive
ove
è la distanza dal centro della Terra in un dato momento e
è la velocità.
Se sostituisco
trovo facilmente
.
La velocità è minima all'apogeo, quindi posto
trovo
.
Ora sono un po' perplesso per quanto riguarda l'angolo di lancio. Io avevo impostato la conservazione del momento angolare come
da cui mi esce appunto il risultato che ho detto. Ma notando che l'angolo trovato da arna1998 è esattamente il complementare del mio, è evidente che ancora una volta ho cannato una definizione, nel senso che con "rispetto all'orizzontale" avevo inteso quello che il vettore forma con la tangente alla superficie terrestre in quel punto
Re: 70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE
Inviato: 29 mag 2016, 12:40
da Flaffo
Interessante il procedimento per il primo e secono punto, io l'avevo fatto in modo diverso