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Spesso viene chiesto di mostrare se un equilibrio è stabile o instabile: qual'è il miglior modo per esprimerlo matematicamente?

Equilibrio stabile significa che se il sistema fisico subisce una piccola variazione di posizione (al primo ordine) le forze fanno si da riportarlo nel punto di equilibrio indipendentemente da quale sia stata la direzione dello spostamento. Se esiste almebo una direzione nella quale spostando il sistema fisico di poco questo si allontana ancor di più dalla posizione di equilibrio, allora l equilibrio è stabile. Prendiamo il caso undimensionale: se è la posizione di equilibrio allora se l equlibrio è stabile e così che spostando il corpo in emtrambe le direzioni esso torna alla posizione di equilibrio. Ora dal fatto che per definizione di potenziale si ha che la posizione è di equilibrio stabile se è un minimo relativo del potpotenziale e questo è facile da verificare matematicamente. Se siamo in più dimensioni puoi fare lo stesso discorso considerando tutte le direzioni e considerando che , e ti accorgerai che vale sempre la stessa cosa, cioè l equilibrio è stabile se la posizione è un minimo relativo per il potenziale.

Giusto, grazie