Anello gravitazionale

[Gia91]

Consideriamo un anello solido di massa e raggio . Trovare un'espressione della forza gravitazionale esercitata dall'anello su una particella di massa posta a distanza sull'asse dell'anello.

Ho trovato un'espressione ma essendo questo sull'halliday un problema di numero pari ( ) volevo confrontarla con qualche altra..

[ale.b]

[Gauss91]

E' assolutamente analogo al caso di un anello carico. E' un risultato noto.

[Ippo]

La situazione è equivalente ad avere una massa puntiforme a distanza (la distanza tra la particella e un punto a caso dell'anello). Con questo argomento si può anche evitare l'integrale (che comunque è banale).

[Gia91]

E' assolutamente analogo al caso di un anello carico. E' un risultato noto.

Esatto... Il risultato è proprio quello... Comunque mannaggia ai problemi pari!!!

[Gia91]

Comunque, sempre rimanendo in tema di anelli e gravità, c'è un altro problema sull'Halliday:

Nove particella di massa sono sistemate ad intervalli regolari su un anello di raggio . Calcolare la forza gravitazionale netta esercitata su ciascuna particella dalle altre 8.
Fino a qui il problema è semplice
(Chi volesse cimentarvisi il risultato è )

Stavo ora tentando di generalizzare, supponendo che le particelle siano , sempre ad intervalli regolari. Bisognerebbe quindi trovare la forza che le particelle esercitano sull'ennesima...

[Ippo]

Stavo ora tentando di generalizzare, supponendo che le particelle siano , sempre ad intervalli regolari. Bisognerebbe quindi trovare la forza che le particelle esercitano sull'ennesima...

Per il caso di n masse puoi calcolare tutte le distanze che ti servono con un po' di trigonometria (teorema del coseno, o di Carnot) e considerare solo la componente centrpeta di ciascun contributo (le componenti tangenziali si elidono tutte per simmetria).
A meno di (probabili) errori di conto mi viene, per la forza risultante su una certa massa,

Prova un po' a ricostruire i passaggi e vedere se è giusto.

[Off Topic] Fatto curioso: se mandiamo n ad infinito nella sommatoria, oppure se passiamo ad una distribuzione continua di massa a forma di anello, cioè se sostituiamo la sommatoria con l'integrale
, otteniamo un infinito. Questo è ragionevole perché la massa dell'anello, che è , va anch'essa ad infinito. Se invece fissiamo la massa totale a M e la dividiamo in n parti uguali, abbiamo
che anche mandando n ad infinito converge.
(dimostrazione: per stare larghi facciamo che tutti gli n termini siano uguali al più grande, che è il primo; otteniamo cioè ; ora posto abbiamo che per il limite notevole ci dà . Perciò quel limite è finito, ed anche piuttosto piccolo)

EDIT: però passando ad una distribuzione continua, anche fissando la massa totale, otteniamo lo stesso un infinito. Si possono fare i conti per una distribuzione continua di densità lineare fissata , si trova per il campo gravitazionale in un certo punto della circonferenza il valore che è infinito. Niente da fare, il continuo è una brutta cosa. Fortunatamente esistono gli atomi [/Off Topic]

[Luke]

Se invece fissiamo la massa totale a M e la dividiamo in n parti uguali, abbiamo
che anche mandando n ad infinito converge.

Scusate se riprendo l'OT... che procedimento hai utilizzato per "fissare la massa totale a M" ?

[Pigkappa]

Ha scritto invece di ...

[Luke]

LoL.... ok come se non avessi detto niente