Cilindro pieno d' acqua con foro
Cilindro pieno d' acqua con foro
Sulla base di un cilindro pieno d' acqua vi è un foro di area A; l' area di base del cilindro è S mentre la sua altezza è H. Determinare in quanto tempo il cilindro si svuota completamente
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
?
(Se è giusto riordino e posto il procedimento )
(Se è giusto riordino e posto il procedimento )
Quando il temperamento originario prevale sulla cultura si è rozzi; quando la cultura prevale sul temperamento originario si è pedanti. Quando la cultura e temperamento si equilibrano, allora si è superiori. (Kong Qiu)
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
S/A mi viene fuori radice
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Ehm, sì... ho pasticciato miseramente
Ecco cmq la soluzione, per i posteri:
Imposto la condizione applicando il teorema di Torricelli (V è funzione di t e il meno è dovuto alla diminuzione del volume di acqua):
Risolvo separando le variabili e impongo le condizioni al contorno:
Riordinando il tutto (alla fine avremo V=0) ottengo:
Ecco cmq la soluzione, per i posteri:
Imposto la condizione applicando il teorema di Torricelli (V è funzione di t e il meno è dovuto alla diminuzione del volume di acqua):
Risolvo separando le variabili e impongo le condizioni al contorno:
Riordinando il tutto (alla fine avremo V=0) ottengo:
Quando il temperamento originario prevale sulla cultura si è rozzi; quando la cultura prevale sul temperamento originario si è pedanti. Quando la cultura e temperamento si equilibrano, allora si è superiori. (Kong Qiu)
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
per A=S il tempo trovato è esattamente quello necessario affinchè un corpo in caduta libera percorra un tratto H;
Immaginiamo ora di tagliare a metà un cono ( di area di base S e altezza H ) con un piano parallelo alla sua base ; il tronco di cono è inizialmente pieno d' acqua e la sua base maggiore è rivolta verso l' alto. Determinare in quanto tempo il tronco di cono si svuota completamente
Immaginiamo ora di tagliare a metà un cono ( di area di base S e altezza H ) con un piano parallelo alla sua base ; il tronco di cono è inizialmente pieno d' acqua e la sua base maggiore è rivolta verso l' alto. Determinare in quanto tempo il tronco di cono si svuota completamente
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
non capisco come ci arrivi...MrTeo ha scritto:
-
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- Iscritto il: 26 ago 2010, 17:51
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Gia91 ha scritto:non capisco come ci arrivi...MrTeo ha scritto:
allora, dh=dV/A
questo per pure considerazioni geometriche sul cilindro
allo stesso modo, h=(V0-V)/S
l'uguaglianza salta fuori dal citato teorema di torricelli o volendo dall'equazione di bernoulli
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
C'è una domanda bonus senza risposta. Ci provo sperando di non toppare gli integrali e sperando che i ragonamenti siano esatti. Comunque credo che ci sia un metodo più veloce perchè ho fatto parecchi contacci.
Edit: come giustamente ha fatto notare Axxman, la superficie attraverso cui l'acqua esce non è trascurabile rispetto a quella del pelo dell'acqua, per cui il mio ragionamento salta (non è vero che ).
S è l'area di base maggiore del tronco di cono, è quindi l'area di base minore e l'altezza del tronco di cono. Per la legge di Torricelli l'acqua esce dall'apertura con . Ma allora in un intervallo di tempo infinitesimo il volume d'acqua contenuta nel cono varia di e vale la relazione .
La scrivo come . Ora devo scrivermi in funzione di , dove è il volume d'acqua rimasto. Contando l'altezza dalla base maggiore del tronco di cono vale la relazione
.
Ma . Il problema è risolversela in (che non ho fatto a mano!!) comunque salta fuori una cosa non troppo brutta: .
Adesso ho in : . Devo integrare e come estremi dell'integrale ho proprio e rispettivamente il volume all'inizio e alla fine.
che è proprio il tempo in cui si svuota un cilindro di altezza H con una base aperta.
Edit: come giustamente ha fatto notare Axxman, la superficie attraverso cui l'acqua esce non è trascurabile rispetto a quella del pelo dell'acqua, per cui il mio ragionamento salta (non è vero che ).
S è l'area di base maggiore del tronco di cono, è quindi l'area di base minore e l'altezza del tronco di cono. Per la legge di Torricelli l'acqua esce dall'apertura con . Ma allora in un intervallo di tempo infinitesimo il volume d'acqua contenuta nel cono varia di e vale la relazione .
La scrivo come . Ora devo scrivermi in funzione di , dove è il volume d'acqua rimasto. Contando l'altezza dalla base maggiore del tronco di cono vale la relazione
.
Ma . Il problema è risolversela in (che non ho fatto a mano!!) comunque salta fuori una cosa non troppo brutta: .
Adesso ho in : . Devo integrare e come estremi dell'integrale ho proprio e rispettivamente il volume all'inizio e alla fine.
che è proprio il tempo in cui si svuota un cilindro di altezza H con una base aperta.
Ultima modifica di egl il 18 mar 2011, 15:14, modificato 1 volta in totale.
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Non ho letto bene, magari mi sbaglio e nel caso scusami, ma mi sa che non funziona la tua ipotesi iniziale, perchè l'apertura inferiore non è trascurabile rispetto a quella superiore, quindi non puoi supporre ferma la superficie superiore
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Dovrei aver imparato delle cose che non sapevo, quindi ci riprovo, anche perchè avevo fatto degli errorini.
Penso che però è meglio se qualcuno controlla le idee che ci sono dietro e magari conferma se sono esatte o meno
Innanzitutto mi calcolo la velocità con cui l'acqua esce dall'apertura in funzione dell'altezza dell'acqua. Bernoulli e l'equazione di continuità danno (applicate al pelo dell'acqua e all'uscita):
.
Ho quindi . Posso dire che . Trasformo in dove è il volume di acqua rimanente. Per la geometria del sistema avrò che ( è il volume del cono non tagliato, cioè del cono intero) . Facendo radici cubiche e un paio di passaggi avrò .
Dall'equazione di prima . Devo integrare e il volume d'acqua varia da a 0. Per cui avrò
che fatto con Derive porta a sapendo che il cono è tagliato a metà quindi e
Penso che però è meglio se qualcuno controlla le idee che ci sono dietro e magari conferma se sono esatte o meno
Innanzitutto mi calcolo la velocità con cui l'acqua esce dall'apertura in funzione dell'altezza dell'acqua. Bernoulli e l'equazione di continuità danno (applicate al pelo dell'acqua e all'uscita):
.
Ho quindi . Posso dire che . Trasformo in dove è il volume di acqua rimanente. Per la geometria del sistema avrò che ( è il volume del cono non tagliato, cioè del cono intero) . Facendo radici cubiche e un paio di passaggi avrò .
Dall'equazione di prima . Devo integrare e il volume d'acqua varia da a 0. Per cui avrò
che fatto con Derive porta a sapendo che il cono è tagliato a metà quindi e