Facce cariche in un cubo

[Pigkappa]

Siccome la legge di Gauss si applica su superfici chiuse tu in realtà stai considerando una superficie cubica "appena sopra" il cubo stesso quindi penso proprio di sì

No! A noi interessa il campo elettrico che agisce proprio sulla faccia del cubo; il campo che c'è "appena sopra" è influenzato anche dalla faccia stessa ed è quindi diverso. Ad esempio, secondo il tuo ragionamento potremmo considerare una superficie cubica "appena dentro" il cubo, ma il flusso su quella superficie è chiaramente nullo. Perciò bisogna fare attenzione a questa cosa che, secondo me, fa anche trovare un risultato diverso.


Per chi volesse un suggerimento, lo lascio nel quote.

In questi casi, quando valgono alcune ipotesi ragionevoli, il campo da considerare è la media aritmetica tra quello "appena fuori" e quello "appena dentro" la superficie. Potete provare a:
1)Dimostrare questo fatto (non è banalissimo; potete anche prenderlo per buono se volete solo risolvere il problema).
2)Scrivere bene la soluzione dall'inizio alla fine.

[spn]

Sia il flusso che c'è su una della facce, quello appena dentro la faccia e quello appena esterno, e quello generato dalla faccia considerata. Si ha allora che:




Sommando le due eq. si ha

Infine si ha



Comunque si poteva fare benissimo anche considerando le 6 facce come 3 condensatori a facce piane parallele.

[Pigkappa]

Comunque si poteva fare benissimo anche considerando le 6 facce come 3 condensatori a facce piane parallele.

Esplicita se puoi... Non è una cosa ovvia, secondo me.

[AxxMan]

Comunque si poteva fare benissimo anche considerando le 6 facce come 3 condensatori a facce piane parallele.

Ci avevo pensato anche io, però l'espressione del campo generato da un condensatore vale per punti non vicini ai bordi, e in questo caso sembrava non andare bene, però il risultato è quello...

[Pigkappa]

Cioè? Che conto avete fatto?

Questi cosi non sono veri e propri condensatori: la carica sulle facce opposte ha lo stesso segno.

[AxxMan]

Il campo generato da una lastra carica infinita è dove d è la densità di carica superficiale. Gli effetti delle facce opposte si annullano, e quindi il campo effettivo è dovuto alla faccia opposta alla nostra, e moltiplicando per la carica esce l'espressione di spn

[Pigkappa]

Ma non sono lastre infinite; il lato delle lastre è uguale alla distanza tra lastre opposte, perciò questa approssimazione non è giustificata. Inoltre, gli effetti delle lastre opposte non si annullano a vicenda, ma contribuiscono tutti a spingere "verso il fuori" la faccia che stiamo considerando.

Trascurare il fatto che la faccia opposta a quella che consideriamo ha dimensione finita introduce un errore in eccesso, e trascurare l'effetto delle altre facce ne introduce uno in difetto, e il risultato finale che si trova è giusto, ma il procedimento direi proprio di no.

[AxxMan]

E si infatti perciò l'avevo scartato

[spn]

Invece secondo me considerarli come condensatori è ragionevole.

La distanza tra le cariche è da considerare molto minore delle dimensioni delle facce, altrimenti non avrebbe senso parlare di cariche uniformemente distribuite sulla superficie. Per cui il campo generato dalla superficie nei punti non vicini ai bordi è perpendicolare a essa.
Gli unici punti in cui il campo non è perpendicolare sono nelle estreme vicinanze dei bordi. Qui si ha che per simmetria la componente del campo che agisce a causa della faccia opposta è la metà di quella che agisce nei punti centrali.
Consideriamo però quattro facce, A e B, che hanno il lato L in comune, e le facce A' e B' opposte alle prime due. Ne i punti vicino ad L agiscono i campi di bordo sia di A' che di B', percui in totale la componente perpendicolare alla superficie che agisce su questi punti è uguale a quella che agisce nel centro.
E da qui viene facilmente la soluzione.

Poi bho magari toppo alla grande, in tal caso però sarebbe una bella botta di culo che i risultati vengano uguali .

[Pigkappa]

Invece secondo me considerarli come condensatori è ragionevole.

La distanza tra le cariche è da considerare molto minore delle dimensioni delle facce, altrimenti non avrebbe senso parlare di cariche uniformemente distribuite sulla superficie. Per cui il campo generato dalla superficie nei punti non vicini ai bordi è perpendicolare a essa.
Gli unici punti in cui il campo non è perpendicolare sono nelle estreme vicinanze dei bordi. Qui si ha che per simmetria la componente del campo che agisce a causa della faccia opposta è la metà di quella che agisce nei punti centrali.
Consideriamo però quattro faccie, A e B, che hanno il lato L in comune, e le facce A' e B' opposte alle prime due. Ne i punti vicino ad L agiscono i campi di bordo sia di A' che di B', percui in totale la componente perpendicolare alla superficie che agisce su questi punti è uguale a quella che agisce nel centro.
E da qui viene facilmente la soluzione.

Poi bho magari toppo alla grande, in tal caso però sarebbe una bella botta di culo che i risultati vengano uguali .

Innanzitutto: non riesco a capire molto bene quello che scrivi. Per esempio:

La distanza tra le cariche è da considerare molto minore delle dimensioni delle facce, altrimenti non avrebbe senso parlare di cariche uniformemente distribuite sulla superficie.

Perchè dici questa cosa? Il testo ci dà un cubo sulla cui superficie la carica è distribuita uniformemente. Perchè non avrebbe senso questa configurazione?

Inoltre, da questa frase non penso si capisca perchè vale che:

il campo generato dalla superficie nei punti non vicini ai bordi è perpendicolare a essa.

Se tu prendi una lastra quadrata di lato carica uniformemente, il campo a grande distanza () è simile a quello di una carica puntiforme, il campo a piccola distanza () è come quello di una lastra infinita, ma sul campo a media distanza () non possiamo fare approssimazioni di questo tipo e bisogna fare l'integrale per bene.