Sia la massa di una particella. Indichiamo con la posizione della particella rispetto all'origine; essa è soggetta ad una forza:
.
Chiamiamo l'energia della particella (con l'energia potenziale nulla all'infinito), il suo momento angolare rispetto all'origine. Definiamo il vettore:
.
Dove è la velocità della particella.
1.) Dimostrare che è costante nel tempo.
2.) Dimostrare che:
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C'è da fare qualche conto, ma se si trova il modo giusto per farlo non è niente di drammatico.
Vettore costante in campo centrale.
Vettore costante in campo centrale.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Vettore costante in campo centrale.
1. Intanto la forza ha direzione radiale, quindi il suo momento è sempre nullo. Per cui il momento angolare si conserva, ossia . Ora, ho che . Ora, poiché è costante e unitario, vale che la derivata di quel vettore rispetto al tempo ha come modulo la velocità angolare e come direzione e verso gli stessi della velocità tangenziale , quindi . Per cui , da cui mi segue che è costante.
2. Con l'energia potenziale nulla all'infinito, ho che . Inoltre . Ora:
Ora, un mostro alla volta:
- Poiché , il vettore è perpendicolare a , quindi
- Nel prodotto scalare , quello che ci interessa è la componente radiale di . Poiché è perpendicolare al piano formato da e , la componente radiale di quel prodotto vettore sarà la stessa di , ossia . Poiché il verso viene concorde a , quel prodotto scalare vale proprio , per cui .
Quindi, finendo il conto:
2. Con l'energia potenziale nulla all'infinito, ho che . Inoltre . Ora:
Ora, un mostro alla volta:
- Poiché , il vettore è perpendicolare a , quindi
- Nel prodotto scalare , quello che ci interessa è la componente radiale di . Poiché è perpendicolare al piano formato da e , la componente radiale di quel prodotto vettore sarà la stessa di , ossia . Poiché il verso viene concorde a , quel prodotto scalare vale proprio , per cui .
Quindi, finendo il conto:
Re: Vettore costante in campo centrale.
Ok, però per il secondo punto si fa un po' prima così (e ci si risparmia di scrivere le cose in coordinate):
Da cui si trova quella formula.
Da cui si trova quella formula.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)