L'espressione è la soluzione di molte equazioni differenziali. Mi sarebbe davvero utile se qualcuno con più esperienza e conoscenze in merito potesse chiarirmi le idee sulla funzione in sé, sui termini che la compongono e sul suo significato geometrico.
P.S: Ringrazio in anticipo tutti gli uomini di buona volontà ( ) che risponderanno ai precedenti punti
Funzione particolare
Re: Funzione particolare
è detta ampiezza, perché la funzione può assumere valori compresi fra -A e +A;
è la pulsazione (vale la relazione dove è il periodo della funzione e la sua frequenza);
è la fase (o forse il nome "sfasamento" è più autoesplicativo), indica quanto la funzione "dista" (cioè quanto è in ritardo o anticipo) dalla funzione che ha fase nulla (cioè ).
Non so quanto altro ci possa essere da dire (non so neanche se ti ho detto qualcosa di nuovo). Qualche altra informazione la puoi trovare qui e qui (in inglese)
è la pulsazione (vale la relazione dove è il periodo della funzione e la sua frequenza);
è la fase (o forse il nome "sfasamento" è più autoesplicativo), indica quanto la funzione "dista" (cioè quanto è in ritardo o anticipo) dalla funzione che ha fase nulla (cioè ).
Non so quanto altro ci possa essere da dire (non so neanche se ti ho detto qualcosa di nuovo). Qualche altra informazione la puoi trovare qui e qui (in inglese)
Re: Funzione particolare
provo a darti un'idea di dove compaia quella funzione e perché.
Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, cioè scritture del tipo con a e b numeri reali fissati, compaiono abbastanza spesso in fisica, sostanzialmente perché F=ma spesso si traduce in un'equazione di questo tipo (per esempio ogni volta che appare un'accelerazione hai un termine in x''; ogni attrito viscoso ti dà un termine in x'; ogni forza di richiamo elastica ti dà un termine in x) e hanno un insieme di soluzioni che è generato (mediante somme e prodotti per scalari) da due soluzioni esponenziali: e dove gli sono le radici dell'equazione ovvero .
Se si ha , allora le soluzioni sono dei numeri complessi: e qui entra in gioco un bel risultato di analisi matematica: per ogni reale si ha . Dimostrare questo ci porterebbe un po' troppo fuori però.
Allora le nostre soluzioni diventano:
Ora, la grandezza fisica che vogliamo è un numero reale, quindi prendiamo due combinazioni reali delle soluzioni: e , che sono nient'altro che la parte reale e la parte immaginaria.
Così abbiamo come soluzione generale:
che possiamo modificare in modo furbo usando questo trucchetto (detto per comodità):
dove chiamiamo l'arcoseno di
A questo punto riconsciamo in parentesi la formula di addizione per il coseno e scriviamo in conclusione
Se siamo fortunati e il nostro sistema non presenta attriti viscosi (a=0) lo smorzamento esponenziale scompare e abbiamo semplicemente
che è appunto la funzione di cui chiedevi, a meno di rinominare i coefficienti.
Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, cioè scritture del tipo con a e b numeri reali fissati, compaiono abbastanza spesso in fisica, sostanzialmente perché F=ma spesso si traduce in un'equazione di questo tipo (per esempio ogni volta che appare un'accelerazione hai un termine in x''; ogni attrito viscoso ti dà un termine in x'; ogni forza di richiamo elastica ti dà un termine in x) e hanno un insieme di soluzioni che è generato (mediante somme e prodotti per scalari) da due soluzioni esponenziali: e dove gli sono le radici dell'equazione ovvero .
Se si ha , allora le soluzioni sono dei numeri complessi: e qui entra in gioco un bel risultato di analisi matematica: per ogni reale si ha . Dimostrare questo ci porterebbe un po' troppo fuori però.
Allora le nostre soluzioni diventano:
Ora, la grandezza fisica che vogliamo è un numero reale, quindi prendiamo due combinazioni reali delle soluzioni: e , che sono nient'altro che la parte reale e la parte immaginaria.
Così abbiamo come soluzione generale:
che possiamo modificare in modo furbo usando questo trucchetto (detto per comodità):
dove chiamiamo l'arcoseno di
A questo punto riconsciamo in parentesi la formula di addizione per il coseno e scriviamo in conclusione
Se siamo fortunati e il nostro sistema non presenta attriti viscosi (a=0) lo smorzamento esponenziale scompare e abbiamo semplicemente
che è appunto la funzione di cui chiedevi, a meno di rinominare i coefficienti.