Asta che gira
Asta che gira
Sia data un'asta sottile (praticamente unidimensionale) di lunghezza L e massa M, con un'estremità imperniata ad un motore che la mantiene in moto attorno ad un asse verticale a velocità angolare costante (cioè il vettore è costante e diretto verso l'alto) in modo che l'angolo tra l'asta e la verticale sia costante.
(praticamente l'asta girando descrive un cono nello spazio)
Ad un certo istante il vincolo viene rimosso e l'asta inizia a muoversi liberamente, sotto l'effetto della gravità. Descriverne (quantitativamente) il moto.
Nota: il problema viene da un compito di fisica I dell'università di Pisa di qualche anno fa, non è difficile ma tratta un argomento che generalmente non si vede né a scuola né alle olimpiadi. Ragionate sulla relazione tra il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare...
(praticamente l'asta girando descrive un cono nello spazio)
Ad un certo istante il vincolo viene rimosso e l'asta inizia a muoversi liberamente, sotto l'effetto della gravità. Descriverne (quantitativamente) il moto.
Nota: il problema viene da un compito di fisica I dell'università di Pisa di qualche anno fa, non è difficile ma tratta un argomento che generalmente non si vede né a scuola né alle olimpiadi. Ragionate sulla relazione tra il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare...
Re: Asta che gira
Un saluto a tutti gli iscritti del mese di aprile
Sfruttando l'hint fornito da Ippo e sperando di aver ragionato bene, il vettore momento angolare ha la caratteristica di essere parallelo al vettore velocità angolare . Ne consegue che il momento meccanico derivato dalla forza gravitazionale produce una variazione del momento angolare, difatti . Poiché è perpendicolare a , varierà soltanto in direzione e verso, ma non in modulo.
Quindi, in assenza di attriti, la velocità angolare dell'asta resterà costante, nonostante inizi a muoversi liberamente. Vale, allora, la relazione:
dove è il braccio della forza gravitazionale e la variazione di tempo tra l'istante in cui l'asta era legata al vincolo e l'istante in cui si è slegata da esso.
Sfruttando l'hint fornito da Ippo e sperando di aver ragionato bene, il vettore momento angolare ha la caratteristica di essere parallelo al vettore velocità angolare . Ne consegue che il momento meccanico derivato dalla forza gravitazionale produce una variazione del momento angolare, difatti . Poiché è perpendicolare a , varierà soltanto in direzione e verso, ma non in modulo.
Quindi, in assenza di attriti, la velocità angolare dell'asta resterà costante, nonostante inizi a muoversi liberamente. Vale, allora, la relazione:
dove è il braccio della forza gravitazionale e la variazione di tempo tra l'istante in cui l'asta era legata al vincolo e l'istante in cui si è slegata da esso.
Re: Asta che gira
Sulla base di ciò che ho scritto, sperando intensamente di non aver travisato il testo, l'asta continua a muoversi alla stessa velocità angolare e in assenza di attriti essa non cadrebbe mai.
P.S: Ringrazio Ippo per la sua prontezza e dedizione nella risposta all'ultimo messaggio.
P.S: Ringrazio Ippo per la sua prontezza e dedizione nella risposta all'ultimo messaggio.
Re: Asta che gira
ecco, il punto del problema è proprio che questo in generale è falso. Come ho scritto, la relazione generale tra e non è un argomentro che si vede prima dell'università; ma ragionando un po' sulla situazione fisica si può lo stesso ricavare la soluzione, anche senza conoscere veramente la teoria.Eagle ha scritto: Sfruttando l'hint fornito da Ippo e sperando di aver ragionato bene, il vettore momento angolare ha la caratteristica di essere parallelo al vettore velocità angolare ..
Re: Asta che gira
Si vede che è un problema tratto da un compito universitario. In effetti avevo trascurato che il momento angolare si somma alla velocità angolare perché non è esattamente sull'asse di : questo provoca un'oscillazione che prende il nome di nutazione e che aumenta al diminuire della velocità di rotazione.
Re: Asta che gira
Nella situazione iniziale imponiamo il vincolo quindi ignoriamo le nutazioni e tutte le altre complicazioni.
Un hint: se fosse (asta verticale) quanto varrebbe L? Se ne può dedurre qualcosa per il caso ?
Meditate gente, meditate....
Un hint: se fosse (asta verticale) quanto varrebbe L? Se ne può dedurre qualcosa per il caso ?
Meditate gente, meditate....
Re: Asta che gira
Io l'unica cosa che sono riuscito per ora a trovare è, dalla definizione,
, dove a è il raggio di rotazione (ovviamente v si riferisce al centro di massa, così come a).
Il modulo è
.
Ovviamente per , il momento angolare è 0.
Non riesco a dire altro: derivando l'espressione vettoriale e porla uguale al momento della forza di gravità non mi porta a nulla.
, dove a è il raggio di rotazione (ovviamente v si riferisce al centro di massa, così come a).
Il modulo è
.
Ovviamente per , il momento angolare è 0.
Non riesco a dire altro: derivando l'espressione vettoriale e porla uguale al momento della forza di gravità non mi porta a nulla.
Re: Asta che gira
Mah, in realtà non è definito così il momento angolare. Il momento angolare, rispetto all'origine, di una particella di massa e velocità è in effetti:Gauss91 ha scritto:definizione,
, dove a è il raggio di rotazione (ovviamente v si riferisce al centro di massa, così come a).
Il modulo è
Per un corpo di massa M che non sia esattamente una particella, il momento angolare non è detto che sia quello che dici tu.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Asta che gira
Perdona l'ignoranza, ma cosa cambia da a ? Non sono vettori di ugual modulo e direzione e quindi uguali? Se sono uguali per ogni particella, se calcolo il momento angolare di un corpo rigido con una o con l'altra formula dovrei ottenere la stessa cosa, dato che si devono semplicemente sommare i momenti angolari di ogni particella. Dove sbaglio?
Re: Asta che gira
Non cambia niente, non era lì il problema.Gauss91 ha scritto:Perdona l'ignoranza, ma cosa cambia da a ?
Allora forse non ho capito rispetto a quale punto hai calcolato il momento angolare. Se è il perno, direi che le molecole che sono molto vicine al perno hanno momento angolare più piccolo di quelle che sono lontano.Gauss91 ha scritto:Se sono uguali per ogni particella [...]
Oltre che per , anche per c'è un modo più facile per calcolare il momento angolare, e potresti usare questa cosa per vedere se il tuo risultato funziona per tale angolo.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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