Staffetta meccanica

[Gauss91]

Ragazzi del forum, non so se voi frequentate anche il forum delle olimpiadi della Matematica, ma là ci sono, per ogni argomento, delle "staffette" in cui uno propone un problema, un altro lo risolve, e chi lo risolve ne propone uno nuovo, e così via.
E' una cosa divertente e istruttiva secondo me, e non penso sarebbe una cattiva idea istituirne una anche qui. Per esempio una "staffetta meccanica", una "staffetta elettromagnetismo", e una "staffetta termodinamica". Forse ciò potrebbe contribuire alla vitalità del forum e aumenterebbe i problemi in circolazione, con conseguente miglior allenamento.
Che ne dite? L'ho postato qua perché non ci sono altre sezioni buone per questa cosa.

[Timmo]

Penso che bisognerebbe aspettare dopo Senigallia, visto che probabilmente molti sul forum sono impegnati a fare vecchie edizioni (io si) o a ripassare la teoria (io no...).

[Ippo]

Beh se ne avete voglia mi sembra una buona idea! (forse dopo Senigallia come dice Timmo in effetti sarebbe meglio, ormai manca una settimana no?)
l'unica differenza con matematica è che secondo me sarà un po' più difficile trovare problemi adeguati (=di livello non troppo alto) in giro, o inventarli; comunque provare non costa nulla direi, quindi... buon lavoro!!

[Gauss91]

Ok! Quindi dopo senigallia cominciamo, ma visto che l'idea l'ho avuta io, voglio essere io a postare il primo problema! A presto!

[Gauss91]

Ok ragazzi! Senigallia è stata fatta, ed è con un po' di rammarico che posto questo primo problema, dato che purtroppo io non ce l'ho fatta ad arrivare lì... quindi, innanzitutto porgo i miei complimenti a tutti coloro che sono riusciti a partecipare e magari a fare anche un buon punteggio, in secondo luogo spero che possiate perdonare la mia incapacità di arrivare alle nazionali e mi diate l'autorità di postare il primo problema della staffetta senza ridermi dietro!
Basta con i convenevoli, e buona risoluzione del...

Problema 1 (own): un cilindro omogeneo di base e altezza , con , si trova (in piedi) al centro di una giostra circolare di raggio , che gira a velocità angolare costante . Il cilindro si trova su un supporto a sua volta dentro una guida diretta radialmente la giostra. Si può immaginare il supporto come una base orizzontale con alto coefficiente d'attrito (insomma non si prendono in considerazione scivolamenti) e la guida come un solco sul pavimento della giostra, entro il quale si muove il supporto del cilindro. Tale sistema "supporto-guida" impedisce al cilindro di scivolare in qualunque direzione, e di muoversi in altre direzioni che non siano quella permessa dalla guida, ma NON gli impedisce di oscillare attorno al suo asse e, eventualmente, di cadere.
Si fa partire il supporto (con sopra il cilindro) verso l'esterno della giostra, ad una velocità radiale costante, .
Si determini il massimo valore di tale che il cilindro non cada durante la sua corsa verso l'esterno.
Buon lavoro!

[Pigkappa]

O fai una figura, oppure spieghi molto precisamente come è fatta quella roba, anche rischiando di essere prolisso. La difficoltà del problema non dovrebbe essere nella comprensione del testo...

[Nagdhar]

Sono un ragazzo del terzo anno, alle prime armi ed iscritto da poco
Ho provato a dare una prima soluzione teorica al problema.
Mentre la giostra ruota con una propria velocità angolare ω, il cilindro si muove lungo l'asse costituito dalla guida verso "l'ipotetica uscita" con la sua velocità v costante. Affinchè il solido fuoriesca senza cadere, a causa del momento dovuto alla forza centrifuga (individuata nel sistema di riferimento solidale al cilindro e generata dalla rotazione della giostra stessa), la logica vuole che il corpo assuma una velocità v tale che il tempo impiegato dal baricentro (posto al centro dell'altezza) per fuoriuscire dalla base sia uguale a quello che il corpo impiega a percorrere la distanza R verso l'uscita.

[Nagdhar]

La traduzione in formule di quanto espresso teoricamente nella prima soluzione è:
v=ω*R/(2*β)
laddove:
β è l'angolo complementare di α=arctan(h/d)
ω è la velocità angolare della giostra;
R è il raggio della giostra;
v è la velocità radiale costante assunta dal cilindro.

[Gauss91]

@Pigkappa: l'ho modificato aggiungendo un'ulteriore descrizione del sistema, spero che ora sia chiaro

il cilindro deve avere una velocità v tale che il tempo impiegato dal baricentro (posto al centro dell'altezza) per fuoriuscire dalla base deve essere uguale a quello che il cilindro impiega a percorrere la distanza R per uscire dalla giostra.

Idea abbastanza carina . Quindi per te la velocità massima sarebbe infinita (così il cilindro "non ha neanche il tempo" di cadere).
Tuttavia, quella che hai postato prima di tutto non è una soluzione completa (il fatto che DEVE essere così non l'hai in alcun modo giustificato), e in definitiva non è corretta dato che non è neanche detto che la situazione descritta da te (cilindro che casca più lentamente di quanto esce) sia possibile. Non spiego questo fatto perché darei un hint troppo forte agli altri, comunque pensaci!

[Nagdhar]

Il problema potrebbe nascondere la risposta nel testo: se il cilindro assume una velocità radiale costante v, unita alla velocità angolare della giostra ω che si trasferisce al solido in questione, provocherebbe un moto roto-traslatorio.