Staffetta meccanica

[Pigkappa]

Facciamo così... Se l'utente che ha risolto l'ultimo problema non ne posta subito un altro, allora può prendere il suo posto chiunque voglia.

[Iuppiter]

Scusate tantissimo. Non so quale sia alla fine la soluzione esatta del problema proposto da me. So che non avrei dovuto postare in staffetta un problema con soluzione ignota, ma pensavo che ci fosse stato qualcuno che sarebbe stato comunque in grado di risolverlo senza lasciare dubbi.
Chiedo infinitamente scusa, non succederà più.
Penso quindi che chiunque abbia un problema da postare possa farlo.

[Stardust]

Allora mi faccio avanti io.
Due automobili si muovono una verso l'altra a velocità in modulo uguale v, partendo da una distanza iniziale d. Nel frattempo una mosca decide intelligentemente di spostarsi tra i due veicoli, partendo dal primo nel momento in cui inizia il moto delle macchine, raggiungendo l'altra auto e poi tornando indietro, ripetendo il percorso finché non resta evidentemente spiaccicata tra i due paraurti.
Sapendo che la mosca si sposta a velocità in modulo costante 2v (invertendo la rotta istantaneamente), dire:
1) quanto resta da vivere alla mosca.
2) quante volte si inverte la sua velocità, quindi quante volte rimbalza tra le due auto;
3) come cambia 2 se si ammette che la mosca ha dimensioni non trascurabili (tipo 1 cm).

Per 2) e 3) può essere utile vedere "a mano" un po' di volte come e quando gli oggetti in moto si incontrano.

[Eagle]

Spero di non aver risposto troppo frettolosamente ai primi due quesiti, comunque:
1) Quanto resta da vivere alla mosca dipende esclusivamente dal momento in cui le due auto si impattano. A partire dall'istante , in cui le macchine partono, all'istante dello scontro:



2) Poiché le dimensioni della mosca si considerano trascurabili, il numero delle volte che la mosca inverte il proprio moto è infinito. E' facile immaginare che nel momento in cui le due auto sono prossime all'impatto, la mosca, essendo un corpo puntiforme, si muove rapidissimamente da una macchina all'altra in un numero infinito di volte.

[edo1493]

Ok, esco fuori dalle regole della staffetta e ne posto uno anche io.

Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla montata su un tavolo orizzontale. Il bersaglio è piazzato a distanza D = 2,20m in orizontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di 1,10cm, ma il tiro risulta corto di 27,0cm. Di quanto deve comprimeral Giustina per fare centro?

[Eagle]

Per il problema postato da edo1493:
1) Dalla conservazione dell'energia:

dove e è la velocità orizzontale della pallina lanciata da Orazio.

Indichiamo

Applico le equazioni del moto parabolico:

(1) - asse :

(2) - asse :

Sostituisco della (1) nella (2) ottenendo:



Eseguo lo stesso ragionamento per il lancio di Giustina, ponendo con la compressione della molla incognita, con la velocità orizzontale ottenuta con la conservazione dell'energia e la distanza dal tavolo alla scatola. Quindi, applicando l'equazione del moto e sostituendo del secondo lancio dalla (1) alla (2) ottengo che:



Dato che in entrambi i casi l'altezza Y del tavolo dal suolo è la stessa, uguaglio le due equazioni in Y, giungendo a:

(3) :

E dunque, essendo che:

, per la conservazione dell'energia nel lancio di Orazio;

, per la conservazione dell'energia nel lancio di Giustina;

Sostituendo le due velocità nell'equazione (3):



Speriamo di aver fatto bene i calcoli...

[Pigkappa]

Si può anche risolvere il problema facendo 1 riga di conti invece di tutto quel lavoro (e perdendoci quindi meno tempo)...

Tutte queste cose si possono capire a mente, senza scrivere equazioni:
1)Il tempo che la pallina ci mette a cadere è ovviamente sempre lo stesso.
2)Allora la distanza percorsa è proporzionale alla velocità iniziale.
3)La velocità iniziale è proporzionale all'allungamento della molla.
4)Allora la distanza percorsa è proporzionale all'allungamento della molla.
E quindi viene la risposta che hai trovato tu.


(il problema precedente non è stato risolto del tutto)

[Stardust]

In effetti ci sarebbe ancora il 3° punto da risolvere per il precedente problema. Nessun idea?
Magari basta pensare un po' di più al fatto che le dimensioni della mosca non sono più trascurabili.... ma solo a partire da un certo punto: se le due auto sono a 1 km di distanza, mezzo cm in più o in meno non fa molta differenza, ma dopo la cosa ha una sua importanza.

[egl]

Ci provo.

Dato che le due auto si muovono l'una verso l'altra ciascuna a velocità mentre la mosca si muove a , questa si scontrerà con l'auto che gli viene incontro quando le due macchine saranno separate da una distanza che è di quella iniziale. Questo ragionamento lo ripeto per ogni urto. Per cui gli urti ci saranno finchè la distanza fra le due auto sarà pari alla lunghezza della mosca, diciamo .
Vale quindi dove è la distanza iniziale fra le due auto.

Il numero degli urti dovrebbe quindi essere .
Tutto a meno di probabili errori.

[Pigkappa]

Secondo me non si puó rispondere in modo soddisfacente senza conoscere i dettagli dell'inversione di velocità della mosca. Se la mosca cambia velocità esattamente quando la sua estremità sinistra tocca il treno di sinistra o la sua estremità destra tocca il treno di destra, allora direi che il risultato è infinito...