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Dato un circuito RC come si ricava la carica, intensità di corrente e il potenziale al variare del tempo?

Prendendo un qualunque libro di elettromagnetismo e andando a cercare il paragrafo sui circuiti RC.


A parte questo, perlomeno prova ad arrivare tu all'equazione... Posso capire che magari non la sai risolvere, ma almeno scrivere la legge delle maglie intorno al circuito dovresti saperlo fare.

Il problema è risolvere la differenziale...non capisco perchè non mi viene...

lo so fare

il libro dice "un'equazione differenziale di questo tipo ha soluzione di questo tipo..." speravo in qualcosa di più "matematico" e meno mnemonico...

Un'equazione differenziale del tipo:



Si risolve in molti modi, ad esempio per separazione di variabili (sai cosa vuol dire?). Poi una soluzione particolare (sai cosa vuol dire?) conviene cercarla ad occhio; in quel caso una costante direi che funziona.

Posto quello che più o meno ho tirato fuori...così mi direte dove sbaglio:







Integrando si dovrebbe ottenere



e quindi



e qui non va bene...

Innanzitutto ti conviene distinguere tra il caso in cui il circuito è collegato ad un generatore. Poi scrivi l'equazione differenziale per la carica usando la legge di Kirchoff. Infine risolvi
a) Ciruito costituito da un generatore di fem continua (per quella alternata mi sembra più complicato) , una resistenza R e un condensatore di capacità C in serie.
Applicando la legge di Kirchoff, con le opportune convenzioni sui segni (la corrente scorre dal polo positivo a quello negativo del generatore e la piastra positiva del condensatore è collegata al polo positivo del generatore e la piastra negativa al polo negativo) si ottiene:

Dato che si ricava . Inoltre si ottiene

Separando le variabili e integrando e ponendo che al tempo 0 la carica sul condensatore è 0 (per comodità)


b)Circuito con solo resistenza e condensatore.
In questo caso . Inoltre

Integrando e chiamando la carica sulle piastre al tempo 0 hai:



EDIT: mi ero messo a scrivere tutto il trattato e non mi sono accorto che ti serviva la soluzione dell'equazione differenziale...

Alex90 ha scritto:

Ecco, qui deve suonare un campanello di allarme. Quando stai prendendo il logaritmo di una quantità dimensionale, vuol dire che qualcosa non va. Hai semplicemente scordato le costanti di integrazione (vedi il post di Rigel per la risoluzione dell'equazione).

Pigkappa ha scritto:

Alex90 ha scritto:

Ecco, qui deve suonare un campanello di allarme. Quando stai prendendo il logaritmo di una quantità dimensionale, vuol dire che qualcosa non va. Hai semplicemente scordato le costanti di integrazione (vedi il post di Rigel per la risoluzione dell'equazione).

Si infatti era quello che non mi tornava...praticamente devo integrare da a e da a ...giusto?

Rigel ha scritto: EDIT: mi ero messo a scrivere tutto il trattato e non mi sono accorto che ti serviva la soluzione dell'equazione differenziale...

Mi sembrava brutto postare "Risolvete questa differenziale!"

Comunque grazie per la pazienza e per esserti preso il disturbo di scrivere tutto quanto

Ovviamente grazie anche a Pig che dà sempre una mano

In fase di carica e crescono asintoticamente fino ai valori e ,

ed decrescono asintoticamente verso lo zero.

= costante di tempo.

Inizialmente il condensatore è scarico e non presenta tensione, perciò tutta la differenza di potenziale del generatore si riversa sulla resistenza, che risulta attraversata dalla massima corrente. Al fluire del tempo aumenta la carica del condensatore e quindi la sua tensione, ma diminuisce la ddp agli estremi di R, perché . Consegue che si riduce la corrente. Dopo un tempo sufficientemente grande la tensione del generatore si ritrova interamente su C, che acquista anche la massima ; la corrente si estingue perché la R non è più più sollecitata da ddp.
Per la dimostrazione basta risolvere l’equazione differenziale della maglia, facilmente reperibile nei libri.
Durante la scarica decrescono esponenzialmente.