Sfera carica con buco

[Rigel]

Abbiamo una sfera carica uniformemente con carica totale Q. Sulla superficie viene praticato un foro di dimensioni molto piccole, in modo da non cambiare la distribuzione di carica.
Vogliamo trovare il campo elettrico sul foro, ad una distanza dalla superficie sferica trascurabile rispetto alle dimensioni del buco.
Fate tutte la approssimazioni che ritenete necessarie e ragionevoli

[Omar93]

Carica foro(circolare vero?) = 0
Carica foro = carica di una zona di sfera uguale al foro + un cerchio con carica opposta
Campo elettrico sferaforo + cerchio = campo elettrico foro

[Pigkappa]

Fallo per bene, non scrivendo quelle cose insensate, per favore.

[modesto]

Se ho ben capito il testo(carica sulla sfera = carica sulla superficie sferica, buco= superficiola sferica priva di carica), si può affrontare in maniera analoga a come abbiamo fatto nel problema precedente per determinare il campo sulla superficie. Il campo è determinato infatti da quello generato dalla intera superficie sferica con densità di carica
ovvero immediatamente fuori della superficie e zero immediatamente dentro e da quello generato dal buco con densità di carica (per annullare la carica positiva prima attribuita). Il buco è schematizzabile come uno strato piano, considerate le dimensioni, e genera da entrambe le parti, immediatamente dentro e immediatamente fuori, il campo , sempre diretti verso il buco (come ogni strato negativo). In conclusione,
immediatamente sopra il buco:
, diretto verso l'esterno;
immediatamente dentro il buco:
, diretto verso l'esterno;
sulla superficiola del buco(dove non si risente della carica posseduta o meno dal buco):
, diretto verso l'esterno.
Due osservazioni che ancora non mi convincono:
1) c'è campo sotto il buco anche all'interno della superficie ed il vettore elettrico è "continuo"nel modulo e nel verso attraversando il buco dall'interno all'esterno
2) il campo sulla superficiola del buco è uguale a quello che trovammo in qualsiasi punto della superficie carica: la spiegazione che darei è che il campo su qualsiasi superficiola non risente della carica da essa posseduta e quindi il buco è equivalente alle altre superficiole cariche.

[Rigel]

Sinceramente non credo che ha molto senso parlare di campo elettrico su una superficie carica visto che lì c'è una discontinuità del campo elettrico; al massimo puoi trovare il campo elettrico un sopra la superficie oppure un sotto e poi far tendere a 0.
in ogni caso noi abbiamo che dove c'è il buco non c'è carica: infatti il fatto di aggiungerci la superficie con carica negativa oltre a quella positiva è solo un trucchetto. questo giustifica anche la continuità del campo elettrico sul foro: se non c'è carica in un punto il campo elettrico deve essere continuo in quel punto.
volendo si possono trovare il potenziale e il campo elettrico ovunque dentro la sfera e con dimensioni del foro arbitrarie (sempre circolare) ma questo richiede tecniche molto avanzate

[Omar93]

Fallo per bene, non scrivendo quelle cose insensate, per favore.

Carica foro(circolare vero?) = 0
Carica foro = carica di una zona di sfera uguale al foro + un cerchio con carica opposta
Campo elettrico sferaforo + cerchio = campo elettrico foro

E' come ha fatto modesto. Il foro ha carica nulla che è uguale a quella di un'altra zona della sfera uguale ad esso più quella di un'altro foro uguale con carica opposta.
Quindi si ha: campoelettrocoforonullo = campoelettricoforopositivo + -campoelettriconegativo
E lo si fa con il procedimento di modesto.

[modesto]

Sinceramente non credo che ha molto senso parlare di campo elettrico su una superficie carica visto che lì c'è una discontinuità del campo elettrico;

Ma non capisco: anche nel problema "sfera carica divisa" il problema consisteva proprio nel trovare il campo sulla superficie carica e si trovò che era il valor medio fra quello interno (nullo) e quello esterno cioè giusto sulla superficie carica.

[Pigkappa]

No. Avevo detto (e avevamo dimostrato in due modi diversi) che, solo al fine di calcolare la forza elettrica agente su quell'elemento di superficie, era come se il campo elettrico fosse il valor medio fra quello interno (nullo) e quello esterno. Non è la stessa cosa.

[modesto]

D'accordo ma il problema sollevato da Rigel è più radicale: lui mette in dubbio l'esistenza del campo sulla superficie dicendo che non ha senso parlare di questo campo perchè c'è discontinuità (non vedo controindicazioni: potrebbe avere un valore interno, uno sulla superficie ed uno esterno). Allora io non riesco a capire come potrebbe esistere una forza sulle cariche superficiali se non fosse fisicamente presente un campo nei posti da esse occupati potendo definirlo proprio come forza agente in quei posti sulla carica unitaria. Poi si può ammettere che, ai fini del calcolo, è come se...

[Rigel]

Prendiamo come esempio quello del piano xy carico uniformemente con densità superficiale . Il campo elettrico è uniforme e vale per ogni z>0 e per ogni z<0.
Passando da z<0 a z>0 il campo elettrico ha una discontinuità ed E(0) non esiste semplicemente perchè non è ben definito.

Quanto al discorso della forza di cui risente una carica superficiale, il punto è che cariche superficiali e cariche puntiformi non esistono fisicamente (così come non esistono fisicamente campi elettrici discontinui). Invece esistono delle distribuzioni volumiche di carica caratterizzate da una certa che è finita in ogni punto, per le quali il campo elettrico è ben definito in ogni punto e quindi è ben definita anche la forza di cui risente la nostra distribuzione di carica.
Posso provare a vedere che succede se mi riduco ad una distribuzione superficiale usando un processo limite come quello descritto da Pig nel topic sulla sfera divisa. Praticamente prendo una lastra infinita parallela al piano xy che si estende sui z compresi tra -s/2 e +s/2 e ha una densità di carica ; faccio tendere s a 0 tenendo costante il prodotto e ottengo una lastra con carica superficiale uniforme. Se adesso accendo un campo esterno e vado a vedere la forza risentita dalla mia distribuzione, noto che mi interessano solo i limiti del campo elettrico per s che tende a e per s che tende a che esistono finiti, ma sono diversi; al contrario non mi interessa il limite per s che tende a 0, che non esiste.
Questo procedimento si può generalizzare tranquillamente.